笛卡尔乘积介绍

善良有点二 發表於 2013-5-26 12:19:56

笛卡尔（Descartes）乘积又叫直积。假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。 在数学中，两个集合 X 和 Y 的笛卡儿积（Cartesian product），又称直积，表示为 X × Y，是其第一个对象是 X 的成员而第二个对象是 Y 的一个成员的所有可能的有序对：

<img alt="X\times Y = \{(x,y) \ | \ x\in X\;\land\;y\in Y\}" src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/201305261209176.png" />。

笛卡儿积得名于笛卡儿，他的解析几何的公式化引发了这个概念。
具体的说，如果集合 X 是 13 个元素的点数集合 { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } 而集合 Y 是 4 个元素的花色集合 {&spades;, &hearts;, &diams;, &clubs;}，则这两个集合的笛卡儿积是 52 个元素的标准扑克牌的集合 { (A, &spades;), (K, &spades;), ..., (2, &spades;), (A, &hearts;), ..., (3, &clubs;), (2, &clubs;) }。
<div id="toctitle" style="text-align:center">目录</div>
<ul style="list-style-type:none; margin-left:0; margin-right:.3em"><li>1 笛卡儿积的性质</li><li>2 笛卡儿平方和 n-元乘积</li><li>3 无穷乘积</li><li>4 函数的笛卡儿积</li><li>5 外部链接</li><li>6 参见笛卡儿积的性质</li></ul>
易见笛卡儿积满足下列性质：
<ul style="list-style-type:square"><li>对于任意集合 A，根据定义有 <img alt="A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing" src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/201305261209177.png" /></li><li>一般来说笛卡儿交换律和结合律。</li><li>笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即</li></ul>

<img alt="A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)" src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/201305261209178.png" />
<img alt="(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)" src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/201305261209179.png" />
<img alt="A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)" src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/2013052612091710.png" />
<img alt="(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)" src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/2013052612091711.png" />
<img alt="(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)" src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/2013052612091712.png" />

笛卡儿平方和 n-元乘积
集合 X 的笛卡儿平方(或二元笛卡儿积)是笛卡儿积 X × X。一个例子是二维平面 R × R，这里 R 是实数的集合 - 所有的点 (x,y)，这里的 x 和 y 是实数(参见笛卡儿坐标系)。
可以推广出在 n 个集合 X1, ..., Xn 上的 n-元笛卡儿积:

<img alt="X_1\times\ldots\times X_n = \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_1\in X_1\;\land\;\ldots\;\land\;x_n\in X_n\}" src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/2013052612091713.png" />。

实际上，它可以被认同为 (X1 × ... × Xn-1) × Xn。它也是 n-元组的集合。
一个例子是欧几里得三维空间 R × R × R，这里的 R 再次是实数的集合。
为了辅助它的计算，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素形成有序对作为表的单元格。
无穷乘积
对最常用的数学应用而言上述定义通常就是所需要的全部。但是有可能在任意(可能无限)的集合的搜集上定义笛卡儿积。如果 I 是任何指标集合，而

<img alt="\{X_i\ | i \in I\}" src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/2013052612091714.png" />

是由 I 索引的集合的搜集，则我们定义

<img alt="\prod_{i \in I} X_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in X_i)\}" src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/2013052612091715.png" />，

就是定义在索引集合上的所有函数的集合，使得这些函数在特定索引 i 上的值是 Xi  的元素。
对在 I 中每个 j，定义自

<img alt=" \pi_{j}(f) = f(j) \ " src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/2013052612091716.png" />

的函数

<img alt=" \pi_{j} : \prod_{i \in I} X_i \to X_{j} \ " src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/2013052612091717.png" />

叫做第 j 投影映射。
n-元组可以被看作在 {1, 2, ..., n} 上的函数，它在 i 上的值是这个元组的第 i 个元素。所以，在 I 是 {1, 2, ..., n} 的时候这个定义一致于对有限情况的定义。在无限情况下这个定义是集合族。
特别熟悉的一个无限情况是在索引集合是自然数的集合 <img alt="\mathbb N," src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/2013052612091718.png" /> 的时候: 这正是其中第 i 项对应于集合 Xi  的所有无限序列的集合。再次，<img alt="\mathbb R" src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/2013052612091719.png" /> 提供了这样的一个例子:

<img alt="\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^\omega= \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots" src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/2013052612091720.png" />

是实数的无限序列的搜集，并且很容易可视化为带有有限数目构件的向量或元组。另一个特殊情况(上述例子也满足它)是在乘积涉及因子 Xi 都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。则在定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从 I 到 X 的所有函数的集合。
此外，无限笛卡儿积更少直觉性，尽管有应用于高级数学的价值。
断言非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空等价于选择公理。
函数的笛卡儿积
如果 f 是从 A 到 B 的函数而 g 是从 X 到 Y 的函数，则它们的笛卡儿积 f×g 是从 A×X 到 B×Y 的函数，带有

<img alt="(f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))" src="https://img.jbzj.com/file_images/article/201305/2013052612091721.png" />

上述可以被扩展到函数的元组和无限指标。

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