高光谱成像基础（五）高光谱成像的噪声估计

蛤蟆先生 發表於 2026-3-9 14:46:00

高光谱成像基础（五）高光谱成像的噪声估计

在上一篇中，我们介绍了最小噪声分数变换 MNF，它在 PCA 基础上引入噪声建模的一种改进降维方法，但我们也提到了:MNF 依赖噪声估计，其效果很大程度依赖噪声协方差矩阵的估计，如果噪声估计不准确，降维效果可能明显下降。
换句话说，噪声估计的质量，直接决定了 MNF 的最终效果。
因此，如果希望在高光谱图像处理中更好地应用 MNF，一个关键问题就是：
<blockquote>
如何更准确地估计图像中的噪声？
</blockquote>
这也是本篇文章的主要内容。 
我们从上一篇中提到的空间差分方法出发，进行对噪声估计方法的简单综述，简要讲解现存的几类噪声估计方法的基本原理与适用场景。
<hr>
<h1 id="1-差分类方法difference-based-methods">1. 差分类方法（Difference-based Methods）</h1>
差分类方法的核心思想是：利用邻域像素之间的差值来削弱真实信号，从而突出噪声成分。 
展开来说，在自然图像或高光谱图像中，真实信号通常具有一定的空间连续性，相邻像素之间变化较为平滑。而噪声往往是随机波动的，因此，对相邻像素进行差分运算时，信号部分往往会相互抵消，而噪声则会被保留下来。
在诸多方法中，这类方法的优点是实现简单、计算效率高。 
但与此同时，差分法依赖一个重要假设：相邻像素之间的真实信号变化较小。当图像中存在明显的边缘或纹理结构时，差分结果会混入真实信号变化，从而导致噪声被高估。 
而且，差分法只利用局部空间信息，而没有利用高光谱数据中波段之间的相关性，也让其在复杂任务中稍显逊色。 
因此，这类方法更适用于图像变化较平滑的场景，作为一种快速、基础的噪声估计手段。
差分类方法中最简单的就是我们在上一篇中使用的单向空间差分（Spatial Difference）：
<div class="math display">\[\hat{N} = X(i,j) - X(i+1,j)
\]</div>其利用相邻像素之间的简单差值来估计噪声。
而在此基础上一种简单的改进方法是使用双向差分（Bidirectional Difference）。 
在刚刚的空间差分中，我们只在一个方向上进行差分，但实际上，图像结构可能在某个方向上变化较大，如果只使用单一方向的差分，可能会把真实信号变化误当成噪声。 
因此，可以同时在水平和垂直方向进行差分：
<div class="math display">\[\hat{N}_h = X(i,j) - X(i+1,j)
\]</div><div class="math display">\[\hat{N}_v = X(i,j) - X(i,j+1)
\]</div>然后再将两个方向的差分结果进行统计，例如计算整体方差，从而得到更加稳定的噪声估计。
还没完，在此基础上，还可以进一步扩展为多方向差分（Directional Difference）: 
这种方法不仅考虑水平和垂直方向，还会加入对角线方向的差分，例如：
<div class="math display">\[\hat{N}_d = X(i,j) - X(i+1,j+1)
\]</div><div class="math display">\[\hat{N}_{d2} = X(i,j) - X(i+1,j-1)
\]</div>这样就可以在多个方向上估计噪声，然后将这些差分结果综合起来进行统计分析。 
多方向差分可以进一步降低图像中边缘、纹理等局部结构变化对噪声估计造成的干扰，从而获得更加可靠的估计结果。
我们用一个简单的实例来进行演示： 
接下来我们利用这些像素，通过不同的差分方式构造噪声样本。 
假设有 四个相邻像素：$P_1、P_2、P_3、P_4$，它们在空间中的位置如下：
<div class="math display">\[\begin{matrix}
P_1 & P_2 \\
P_3 & P_4
\end{matrix}
\]</div>其中，每个像素都是一个 3 维光谱向量（3 个波段）:
<div class="math display">\\quad\quadP_2 =
\]</div><div class="math display">\\quad\quad P_4 =
\]</div>现在，在这个 $2\times2$ 的邻域中，竖直方向可以得到两组相邻像素：
<ul>
<li>第一列：$P_1$ 与 $P_3$</li>
<li>第二列：$P_2$ 与 $P_4$</li>
</ul>
因此计算它们的差分：
<div class="math display">\ - =[-1,1,1]
\]</div><div class="math display">\ - =[-1,1,1]
\]</div>可以看到，每一次像素差分都会得到一个 3 维噪声向量。 
接下来，我们将这些差分结果按行堆叠，构造噪声样本矩阵：
<div class="math display">\[N =
\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\]</div>在这个矩阵中：每一行就表示一个噪声样本，每一列就表示一个波段的噪声值。
现在，我们都得到了使用单向差分构造的噪声样本矩阵，下一步，我们就在此基础上使用双向差分来看看： 
在双向差分中，我们不仅考虑 竖直方向，还要加入 水平方向 的差分。 
因此我们继续计算水平方向差分：
<div class="math display">\ - =[-2,-2,-1]
\]</div><div class="math display">\ - =[-2,-2,-1]
\]</div>可以看到，水平方向同样得到了两个 3 维噪声样本向量。接下来，我们将 竖直方向和水平方向得到的噪声样本统一堆叠，构造新的噪声样本矩阵：
<div class="math display">\[N =
\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 \\
-2 & -2 & -1 \\
-2 & -2 & -1
\end{bmatrix}
\]</div>可以看到，相比单向差分，双向差分产生了 两倍数量的噪声样本。 
因此，我们获得了 更多的噪声观测数据，从而能够得到更加稳定的噪声统计结果。
最后，我们进一步加入 对角线方向的差分：
<div class="math display">\ - = [-3,-1,0]
\]</div><div class="math display">\ - =
\]</div>我们将得到的噪声样本统一堆叠，构造完整的噪声样本矩阵如下：
<div class="math display">\[N =
\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 \\
-2 & -2 & -1 \\
-2 & -2 & -1 \\
-3 & -1 & 0 \\
1 & 3 & 2
\end{bmatrix}
\]</div>你会发现，通过在多个方向上构造差分，我们不仅能够获得更多的噪声观测数据，还可以降低图像中某一特定方向结构变化对噪声估计造成的影响，从而得到更加稳定和可靠的噪声统计结果。
<h1 id="2-统计类方法statistics-based-methods">2. 统计类方法（Statistics-based Methods）</h1>
统计类方法的核心思想是：利用图像局部区域的统计特性来估计噪声强度。 
这类方法同样基于一个基本假设：在较小的空间窗口内，真实信号变化相对缓慢，因此像素之间的差异主要来源于噪声。如果能够在图像中找到变化较平缓的区域，那么该区域内像素的统计波动就可以用来估计噪声强度。
从思想上来看，这类方法与前面介绍的差分类方法有一定相似之处：二者都依赖于“局部区域内真实信号相对稳定”的假设。不同之处在于，差分法通过计算相邻像素之间的差值来显式削弱信号，而统计类方法则是通过分析局部像素分布的统计特性（如方差）来间接估计噪声水平。 
在实际应用中，统计类方法通常会在图像上使用滑动窗口计算局部统计量，或者筛选出方差较小的平滑区域进行估计，因此相比简单差分方法往往具有更好的稳定性。 
但它也同样有其缺陷，统计类方法对窗口尺寸的选择敏感，过小窗口可能无法充分反映噪声统计特性，过大窗口又可能引入更多信号变化，对估计精度产生影响。 
同时，对于非平稳噪声，其适应性也较差。
因此，这类方法同样适用于信号变化较平缓、平滑区域丰富的图像，作为一种稳健的噪声估计手段，适合需要对每个波段分别评估噪声强度的高光谱图像。
最常用的统计方法是局部方差估计（Local Variance Estimation）。 
其基本步骤通常如下：
<ol>
<li>在图像中选取一个局部窗口，例如 $5\times5$ 或 $7\times7$。</li>
<li>计算窗口内像素的均值。</li>
<li>再计算窗口内像素相对于均值的方差，并将其作为噪声强度的估计。</li>
</ol>
其思想也比较好理解：假定某个区域的像素属于同一个分类，那么像素值本应接近一致，因此局部像素的波动（方差）主要来源于噪声，这样就可以用方差来量化噪声强度。
在此基础上，还可以进一步进行改进。例如，一些方法会在整幅图像中滑动窗口，计算大量局部方差，然后选择方差最小的一部分区域作为噪声估计的依据。 
这是因为方差较小的区域通常对应信号变化较平滑的背景区域，因此更接近真实噪声水平。
同样来看一个实例： 
假设在某个局部窗口中，我们观测到 5 个像素，每个像素包含 3 个波段，数据如下：
<div class="math display">\[X =
\begin{bmatrix}
100 & 50 & 30 \\
102 & 52 & 31 \\
101 & 49 & 29 \\
99 & 51 & 30 \\
98 & 50 & 31
\end{bmatrix}
\]</div>首先，计算每个波段的均值向量：
<div class="math display">\[\bar{X} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} X_i =
\]</div>然后，将每个像素与均值向量的差值构成偏差矩阵：
<div class="math display">\[\Delta = X - \bar{X} =
\begin{bmatrix}
0 & -0.4 & -0.2 \\
2 & 1.6 & 0.8 \\
1 & -1.4 & -1.2 \\
-1 & 0.6 & -0.2 \\
-2 & -0.4 & 0.8
\end{bmatrix}
\]</div>接下来，计算噪声协方差矩阵：
<div class="math display">\[C_n = \frac{1}{5} \Delta^T \Delta =
\begin{bmatrix}
2 & 0.4 & 0.4 \\
0.4 & 1.12 & 0.56 \\
0.4 & 0.56 & 0.72
\end{bmatrix}
\]</div>现在，我们得到的局部协方差矩阵就可以直接用于 MNF 白化步骤。 
而如果我们选择了多个局部窗口，得到的多个协方差矩阵也只需要取平均聚合后，就可以应用于 MNF。
此外，除去使用方差之外，也存在使用标准差、绝对偏差、最小二乘拟合残差或 robust 方差的形式，但只是所求统计量的不同，其基本逻辑仍是一样的。
<h1 id="3-回归类方法regression-based-methods">3. 回归类方法（Regression-based Methods）</h1>
回归类方法的核心思想是：通过建立像素或波段之间的预测关系，将预测残差视作噪声，从而进行噪声估计。 
与前两类方法相比，回归类方法不仅利用局部空间信息，还可以利用高光谱数据中波段间的相关性，因此在多波段高光谱图像中往往更加精确。 
在不考虑计算成本、只追求噪声估计精度的情况下，回归类方法是目前高光谱领域最权威、精确的噪声估计方法。
回归类方法常见做法如下：
<ol>
<li>对目标波段建立回归模型，用相邻像素或其他波段进行预测。</li>
<li>计算预测残差，将残差作为噪声样本。</li>
<li>对整个图像或多个像素重复该过程，得到噪声估计矩阵或协方差矩阵，可直接用于 MNF 白化或噪声分析。</li>
</ol>
对这类方法，我们需要先补充一部分理论基础： 
首先，高光谱图像的波段间是高度相关的：高光谱图像的每个像素都有多个波段，这些波段的光谱响应往往是连续且相关的。比如对于植被像素，红边波段和近红外波段的值之间存在一定的线性或非线性关系。 
一般来说，高光谱图像中波段距离越近，相关性越强。但噪声是设备误差等原因产生的，它通常在各个波段中是随机的。
因此，当我们选取波段相近的几个邻居，用回归模型去预测一个波段的真实信号，再计算观测值与其的残差，得到的不符合预测模式的波动，我们就认为这是噪声。
同样来看一个例子： 
假设某像素在 三个波段 的观测值为：
<div class="math display">\
\]</div>此时，我们希望估计波段 3 的噪声。就可以利用波段 1 和波段 2 的值建立一个线性回归模型：$$ \hat{x}_3 = a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c $$ 在图像中选取多个像素，利用最小二乘法或其他回归方法求解参数 $a, b, c$。得到预测值，我们假定如下：
<div class="math display">\[\hat{x}_3=28
\]</div>下面，我们将实际观测值与预测值相减，就能得到残差：
<div class="math display">\[r = x_3 - \hat{x}_3=30-28=2
\]</div>这个残差 $r=2$ 就可以作为该像素在波段 3 上的噪声样本，对图像中多个像素重复上述过程，就可以得到整幅图像波段 3 的噪声样本向量。
如果对每个波段都建立类似回归模型，得到各波段的残差向量，就可以构造完整的噪声样本矩阵 $N$：
<div class="math display">\[ N =
\begin{bmatrix}
r_1^{(1)} & r_2^{(1)} & r_3^{(1)} \\
r_1^{(2)} & r_2^{(2)} & r_3^{(2)} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
r_1^{(m)} & r_2^{(m)} & r_3^{(m)}
\end{bmatrix}
\]</div>其中每一行表示一个像素的残差，每一列表示一个波段的噪声样本。然后就可以进一步计算噪声协方差矩阵。 
回归类方法 利用波段间的相关性，可以得到更精确的噪声协方差矩阵，从而在后续的 MNF 或噪声白化处理中提供可靠的噪声信息，是目前公认的高精度噪声估计方法。 
在目前的高光谱噪声估计领域，研究重点也大都集中在改进回归模型精度、引入非线性或多变量预测策略，以进一步提高噪声估计的可靠性上。
<h1 id="4总结">4.总结</h1>
<table>
<thead>
<tr>
<th>方法类别</th>
<th>核心思想</th>
<th>优点</th>
<th>限制</th>
<th>适用场景</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>差分类方法</td>
<td>利用邻域像素差值削弱真实信号，将差分结果视作噪声。</td>
<td>实现简单、计算效率高。</td>
<td>假设相邻像素信号变化小；边缘或纹理区域易高估噪声；只利用空间信息。</td>
<td>图像平滑、变化不剧烈的场景；快速噪声估计。</td>
</tr>
<tr>
<td>统计类方法</td>
<td>利用局部窗口内像素统计特性（如方差）估计噪声。</td>
<td>稳定性较好；可直接得到噪声强度或协方差。</td>
<td>对窗口尺寸敏感；对非平稳噪声适应性差。</td>
<td>信号变化平缓、平滑区域丰富的图像；需每波段噪声估计。</td>
</tr>
<tr>
<td>回归类方法</td>
<td>利用波段或邻域像素建立预测模型，将预测残差视作噪声。</td>
<td>精度高；利用空间和波段相关性；可直接用于噪声协方差矩阵构建。</td>
<td>计算成本高；模型拟合需足够像素样本。</td>
<td>追求高精度噪声估计，尤其用于 MNF 或高精度降维。</td>
</tr>
</tbody>
</table> 
来源：https://www.cnblogs.com/Goblinscholar/p/19690053

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