高等数学 9.1多元函数的基本概念

苏莱曼尼将军 發表於 2025-8-23 19:59:00

<div class="toc"><div class="toc-container-header">目录</div><ul><li>一、平面点集 *$n$ 维空间<ul><li>1.平面点集</li><li>*2. $n$ 维空间</li></ul></li><li>二、多元函数的概念</li><li>三、多元函数的极限</li><li>四、多元函数的连续性</li></ul></div>
<h2 id="一平面点集--维空间">一、平面点集 *$n$ 维空间</h2>
<h3 id="1平面点集">1.平面点集</h3>
由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个平面直角坐标系后，平面上的点 $P$ 与有序二元实数组 $(x, y)$ 之间就建立了一一对应。于是，我们常把有序实数组 $(x, y)$ 与平面上的点 $P$ 视作是等同的。这种建立了坐标系的平面称为坐标平面。二元有序实数组 $(x, y)$ 的全体，即 $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \{ (x, y) | x, y \in \mathbb{R} \}$ 就表示坐标平面。
坐标平面上具有某种性质 $P$ 的点的集合，称为平面点集，记作
<div class="math display">\[E = \{ (x, y) | (x, y)具有性质P \}.
\]</div>例如，平面上以原点为中心、$r$ 为半径的圆内所有的点的集合是
<div class="math display">\[C = \{ (x, y)|x^2 + y^2 < r \}.
\]</div>如果以点 $P$ 表示 $(x, y)$ ，$|OP|$ 表示点 $P$ 到原点 $O$ 的距离，那么集合 $C$ 也可以表成
<div class="math display">\[C = \{ P | |OP| < r \}
\]</div>现在引入 $\mathbb{R}^2$ 中邻域的概念。
设 $P_0 (x_0, y_0)$ 是 $xOy$ 平面上的一个点，$\delta$ 是某一正数。与点 $P_0 (x_0, y_0)$ 距离小于 $\delta$ 的点 $P(x, y)$ 的全体，称为点 $P_0$ 的 $\delta$ 邻域 ，记作 $U(P_0, \delta)$ ，即
<div class="math display">\[U(P_0, \delta) = \{ P | |PP_0| < \delta \},
\]</div>也就是
<div class="math display">\[U(P_0, \delta) = \{ (x, y) | \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \}.
\]</div>点 $P_0$ 的去心 $\delta$ 邻域，记作 $\mathring{U} (P_0, \delta)$ ，即
<div class="math display">\[\mathring{U} (P_0, \delta) = \{ P | 0 < |PP_0| < \delta \}
\]</div>在几何上，$U(P_0, \delta)$ 就是 $xOy$ 平面上以点 $P_0(x_0, y_0)$ 为中心、$\delta > 0$ 为半径的圆内部的点 $P(x, y)$ 的全体。
如果不需要强调领域的半径 $\delta$ ，则用 $U(P_0)$ 表示点 $P_0$ 的某个邻域，点 $P_0$ 的去心邻域记作 $\mathring{U}(P_0)$ 。
利用邻域来描述点和点集之间的关系。
任意一点 $P \in \mathbb{R}^2$ 与任意一个点集 $E \subset \mathbb{R}^2$ 之间必有一下三种关系中的一种：
（1）内点 ：如果存在点 $P$ 的某个邻域 $U(P)$ ，使得 $U(P) \subset E$ ，那么称 $P$ 为 $E$ 的内点（如图9-1中，$P_1$ 为 $E$ 的内点）；
（2）外点 ：如果存在点 $P$ 的某个邻域 $U(P)$ ，使得 $U(P) \cap E = \varnothing$，那么称 $P$ 为 $E$ 的外点（如图9-1中，$P_2$ 为 $E$ 的外点）；
（3）边界点 ：如果点 $P$ 的任一邻域内既含有属于 $E$ 的点，又含有不属于 $E$ 的点，那么称 $P$ 为 $E$ 的边界点（如图9-1中，$P_3$ 为 $E$ 的边界点）。
$E$ 的边界点的全体，称为 $E$ 的 边界 ，记作 $\partial E$ 。
$E$ 的内点必属于 $E$ ；$E$ 的外点必定不属于 $E$ ；而 $E$ 的边界点可能属于 $E$ ，也可能不属于 $E$ 。
<img src="https://img2024.cnblogs.com/blog/1515107/202508/1515107-20250820192828282-1007761101.png" alt="9.1图9-1" loading="lazy">
任意一点 $P$ 与一个点集 $E$ 之间除了上述三种关系之外，还有另外一种关系，这就是聚点。
聚点 ：如果对于任意给定的 $\delta > 0$ ，点 $P$ 的去心邻域 $\mathring{U}(P, \delta)$ 内总有 $E$ 中的点，那么称 $P$ 是 $E$ 的 聚点 。
由聚点的定义可知，点集 $E$ 的聚点 $P$ 本身，可以属于 $E$ ，也可以不属于 $E$ 。
例如，设平面点集
<div class="math display">\[E = \{ (x, y) | 1 < x^2 + y^2 \leqslant 2 \}.
\]</div>满足 $1 < x^2 + y^2 < 2$ 的一切点 $(x, y)$ 都是 $E$ 的内点；满足 $x^2 + y^2 = 1$ 的一切点 $(x, y)$ 都是 $E$ 的边界点，它们都不属于 $E$ ；满足 $x^2 + y^2 = 2$ 的一切点 $(x, y)$ 也是 $E$ 的边界点，它们都属于 $E$ ；点集 $E$ 以及它的边界 $\partial E$ 上的一切点都是 $E$ 的聚点。
根据点集所属点的特征，再来定义一些重要的平面点集。
开集 ：如果点集 $E$ 的点都是 $E$ 的内点，那么称 $E$ 为开集。
闭集 ：如果点集 $E$ 的边界 $\partial E \subset E$ ，那么称 $E$ 为闭集。
例如，集合 $\{ (x, y) | 1 < x^2 + y^2 < 2 \}$ 是开集；集合 $\{ (x, y) | 1 \leqslant x^2 + y^2 \leqslant 2 \}$ 是闭集；而集合 $\{ (x, y) | 1 < x^2 + y^2 \leqslant 2 \}$ 既非开集，也非闭集。
连通集 ：如果点集 $E$ 内任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于 $E$ ，那么称 $E$ 为连通集。
区域 （或 开区域）：连通的开集称为区域或开区域。
闭区域 ：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。
例如，集合 $\{ (x, y) | 1 < x^2 + y^2 < 2 \}$ 是区域，而集合 $\{ (x, y) | 1 \leqslant x^2 + y^2 \leqslant 2 \}$ 是闭区域。
有界集 ：对于平面点集 $E$ ，如果存在某一正数 $r$ ，使得
<div class="math display">\[E \subset U(O, r)
\]</div>其中 $O$ 是坐标原点，那么称 $E$ 为有界集。
无界集 ：一个集合如果不是有界集，就成这个集合为无界集。
例如，集合 $\{ (x, y) | 1 \leqslant x^2 + y^2 \leqslant 2 \}$ 是有界闭区域，集合 $\{ (x, y) | x + y > 0 \}$ 是无界开区域，集合 $\{ (x, y) | x + y \geqslant 0 \}$ 是无界闭区域。
<h3 id="2--维空间">*2. $n$ 维空间</h3>
设 $n$ 为取定的一个正整数，我们用 $\mathbb{R}^n$ 表示 $n$ 元有序实数组 $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 的全体所构成的集合，即
<div class="math display">\[\mathbb{R}^n = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R} \{ (x_1, x_2, \cdots, x_n) | x_i \in \mathbb{R}, i = 1, 2, \cdots, n \}.
\]</div>$\mathbb{R}^n$ 中的元素 $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 有时也用单个字母 $\boldsymbol{x}$ 来表示，即 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$ .当所有的 $x_i(i = 1, 2, \cdots, n)$ 都为零时，称这样的元素为 $\mathbb{R}^2$ 中的零元，记为 $\boldsymbol{0}$ 或 $O$ 。在解析几何中，通过直角坐标系，$\mathbb{R}^2$ （或 $\mathbb{R}^3$）中的元素分别与平面（或空间）中的点或向量建立一一对应，因而 $\mathbb{R}^n$ 中的元素 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 也称为 $\mathbb{R}^n$ 中的一个点或一个 $n$ 维向量，$x_i$ 称为点 $x$ 的第 $i$ 个坐标或 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}$ 的第 $i$ 个分量。特别地，$\mathbb{R}^2$ 中的零元 $\boldsymbol{0}$ 称为 $\mathbb{R}^n$ 中的坐标原点或 $n$ 维零向量。
为了在集合 $\mathbb{R}^n$ 中的元素之间建立联系，在 $\mathbb{R}^n$ 中定义线性运算如下：
设 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$ ，$\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, \cdots, y_n)$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的任意两个元素，$\lambda \in \mathbb{R}$ ，规定
<div class="math display">\[\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \cdots, x_n + y_n) \\
\lambda \boldsymbol{x} = (\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, \lambda x_n).
\]</div>这样定义了线性运算的集合 $\mathbb{R}^n$ 称为 $n$ 维空间。
$\mathbb{R}^n$ 中的点 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 和点 $\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, \cdots, y_n)$ 间的距离，记作 $\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ ，规定
<div class="math display">\[\rho (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2}.
\]</div>显然，$n = 1, 2, 3$ 时，上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一致。
$\mathbb{R}^n$ 中元素 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 与零元 $\boldsymbol{0}$ 之间的距离 $\rho (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})$ 记作 $\| \boldsymbol{x} \|$ （在 $\mathbb{R}^1, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3$ 中，通常将 $\| \boldsymbol{x} \|$ 记作 $|\boldsymbol{x}|$），即
<div class="math display">\[\| \boldsymbol{x} \| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}.
\]</div>采用这一记号，结合向量的线性运算，便得
<div class="math display">\[\| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \| = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2} = \rho (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})
\]</div>在 $n$ 维空间 $\mathbb{R}^n$ 中定义了距离以后，就可以定义 $\mathbb{R}^n$ 的变元的极限：
设 $\boldsymbol{x} = (x_!, x_2, \cdots, x_n) , \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n$ 。如果
<div class="math display">\[\| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \| \to 0,
\]</div>那么称变元 $\boldsymbol{x}$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中趋于固定元 $\boldsymbol{a}$ ，记作 $\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}$ 。
显然，
<div class="math display">\[\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a} \Leftrightarrow x_1 \to a_1, x_2 \to a_2, \cdots, x_n \to a_n .
\]</div>在 $\mathbb{R}^2$ 中引入线性运算和距离，使得有关平面点集的一些列概念，可以方便地引入到 $n(n \geqslant 3)$ 维空间中来。例如，
设 $\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n$ ，$\delta$ 是某一正数，则 $n$ 维空间内的点集
<div class="math display">\[U(\boldsymbol{a}, \delta) = \{ \boldsymbol{x} | \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^2, \rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{a}) < \delta \}
\]</div>就定义为 $\mathbb{R}^n$ 中点 $\boldsymbol{a}$ 的 $\delta$ 邻域。以邻域为基础，可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点以及开集、闭集、区域等一系列概念。
<h2 id="二多元函数的概念">二、多元函数的概念</h2>
定义1设 $D$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上的一个非空子集，称映射 $f:D \to \mathbb{R}$ 为定义在 $D$ 上的 二元函数 ，通常记为
<div class="math display">\[z = f(x, y), \quad (x, y) \in D
\]</div>或
<div class="math display">\[z = f(P), \quad P \in D,
\]</div>其中点集 $D$ 称为该函数的 定义域 ，$x$ 和 $y$ 称为 自变量 ，$z$ 称为 因变量 。
上述定义中，与自变量 ${x}$ 和 ${y}$ 的一对值（即二元有序实数组）${(x, y)}$ 相对应的因变量 ${z}$ 的值，也称为 ${f}$ 在点 ${(x, y)}$ 处的函数值，记作 ${f(x, y)}$ ，即 ${z=f(x, y)}$ ．函数值 ${f(x, y)}$ 的全体所构成的集合称为函数 ${f}$ 的值域，记作 ${f(D)}$ ，即
<div class="math display">\[f(D)=\{z | z=f(x, y),(x, y) \in D\} .
\]</div>与一元函数的情形相仿，记号 ${f}$ 与 ${f(x, y)}$ 的意义是有区别的，但习惯上常用记号＂${f(x, y),(x, y) \in D}$＂或＂${z=f(x, y),(x, y) \in D}$＂来表示 ${D}$ 上的二元函数 ${f}$ ．表示二元函数的记号 ${f}$ 也是可以任意选取的，例如也可以记为 ${z=\varphi(x, y), z=z(x, y)}$ 等．
类似地，可以定义三元函数 ${u=f(x, y, z),(x, y, z) \in D}$ 以及三元以上的函数．一般地，把定义 1 中的平面点集 ${D}$ 换成 ${n}$ 维空间 ${\mathbb{R}^{n}}$ 内的点集 ${D}$ ，映射 ${f: D \rightarrow \mathbb{R}}$ 就称为定义在 ${D}$ 上的 ${n}$ 元函数，通常记为
<div class="math display">\[u=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), \left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in D
\]</div>或简记为
<div class="math display">\[u=f(x),x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in D
\]</div>也可记为
<div class="math display">\[u = f(P), \quad P(x_1, x_2, \cdots, x_n) \in D.
\]</div>当 ${n=2}$ 或 ${n=3}$ 时，习惯上将点 ${\left(x_{1}, x_{2}\right)}$ 与点 ${\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}$ 分别写成 ${(x, y)}$ 与 ${(x, y, z)}$ ．这时，若用字母表示 ${\mathbb{R}^{2}}$ 或 ${\mathbb{R}^{3}}$ 中的点，即写成 ${P(x, y)}$ 或 ${M(x, y, z)}$ ，则相应的二元函数及三元函数也可简记为 ${z=f(P)}$ 及 ${u=f(M)}$ ．
当 ${n=1}$ 时，${n}$ 元函数就是一元函数；当 ${n \geqslant 2}$ 时，${n}$ 元函数统称为多元函数．
关于多元函数的定义域，与一元函数相类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数 ${u=f(x)}$ 时，就以使这个算式有意义的变元 ${x}$ 的值所组成的点集为这个 多元函数的自然定义域 。因而，对这类函数，它的定义域不再特别标出。例如，函数 ${z=\ln (x+y)}$ 的定义域为
<div class="math display">\[\{(x, y) | x+y>0\}
\]</div>（图 9－2），这是一个无界开区域．
<img src="https://img2024.cnblogs.com/blog/1515107/202508/1515107-20250823192437914-661491237.png" alt="9.1图9-2" loading="lazy">
又如，函数 ${z=\arcsin \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 的定义域为
<div class="math display">\[\left\{(x, y) | x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}
\]</div>（图9－3），这是一个有界闭区域．
<img src="https://img2024.cnblogs.com/blog/1515107/202508/1515107-20250823192459187-1017494842.png" alt="9.1图9-3" loading="lazy">
设函数 $ z=f(x, y) $ 的定义域为 $D$ ．对于任意取定的点 $P(x, y) \in D$ ，对应的函数值为 $ z=f(x, y) $ ．这样，以 $x$ 为横坐标、 $y$ 为纵坐标和 $ z=f(x, y) $ 为竖坐标在空间就确定一点 $M(x, y, z)$ ．当 $(x, y)$ 遍取 $D$上的一切点时，得到一个空间点集
<div class="math display">\[\{(x, y, z) \mid z=f(x, y),(x, y) \in D\},
\]</div>这个点集称为 二元函数 $ z=f(x, y) $ 的图形 （图9－4）．通常我们也说二元函数的图形是一张曲面．
<img src="https://img2024.cnblogs.com/blog/1515107/202508/1515107-20250823192902319-476169196.png" alt="9.1图9-4" loading="lazy">
例如，由空间解析几何知道，线性函数 $z=a x+b y+c$的图形是一张平面，而函数 $z=x^{2}+y^{2}$ 的图形是旋转抛物面．
<h2 id="三多元函数的极限">三、多元函数的极限</h2>
先讨论二元函数 $z=f(x, y)$ 当 $(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，即 $P(x, y) \rightarrow P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时的极限． 
这里 $P \rightarrow P_{0}$ 表示点 $P$ 以任何方式趋于点 $P_{0}$ ，也就是点 $P$ 与点 $P_{0}$ 间的距离趋于零，即
<div class="math display">\[\left|P P_{0}\right|=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}} \rightarrow 0 .
\]</div>与一元函数的极限概念类似，如果在 $P(x, y) \rightarrow P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的过程中，对应的函数值 $ f(x, y) $ 无限接近于一个确定的常数 $A$ ，那么就说 $A$ 是函数 $ f(x, y) $ 当 $(x, y) \rightarrow \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时的极限．下面用＂$\varepsilon-\delta$＂语言描述这个极限概念．
定义 2 设二元函数 $f(P)=f(x, y)$ 的定义域为 $D, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $D$ 的聚点．如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得当点 $P(x, y) \in D \cap \stackrel{\circ}{U}\left(P_{0}, \delta\right)$ 时，都有
<div class="math display">\[|f(P)-A|=|f(x, y)-A|<\varepsilon
\]</div>成立，那么就称常数 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 当 $(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时的极限，记作
<div class="math display">\[\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=A \quad 或 \quad f(x, y) \rightarrow A\left((x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)\right) ,
\]</div>也记作
<div class="math display">\[\lim _{P \rightarrow P_{0}} f(P)=A \quad 或 \quad f(P) \rightarrow A\left(P \rightarrow P_{0}\right) .
\]</div>为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做 二重极限 。
必须注意，所谓二重极限存在，是指 $P(x, y)$ 以任何方式趋于 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时， $ f(x, y) $ 都无限接近于 $A$ 。因此，如果 $P(x, y)$ 以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时，即使 $ f(x, y) $ 无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在．但是反过来，如果当 $P(x, y)$ 以不同的方式趋于 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时， $ f(x, y) $ 趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在．
以上关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 $n$ 元函数 $u=f(P)$ ，即 $u=f\left(x_{1}\right.$ ， $\left.x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 上去．
关于多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则．
<h2 id="四多元函数的连续性">四、多元函数的连续性</h2>
定义 3 设二元函数 $f(P)=f(x, y)$ 的定义域为 $D, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $D$ 的聚点，且 $P_{0} \in D$．如果
<div class="math display">\[\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right),
\]</div>那么称函数 $ f(x, y) $ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续． 
设函数 $ f(x, y) $ 在 $D$ 上有定义，$D$ 内的每一点都是函数定义域的聚点。如果函数 $ f(x, y) $ 在 $D$ 的每一点都连续，那么就称函数 $ f(x, y) $ 在 $D$ 上连续，或者称 $ f(x, y) $ 是 $D$上的 连续函数 ．
以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到 $n$ 元函数 $f(P)$ 上去．
定义 4 设函数 $ f(x, y) $ 的定义域为 $D, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $D$ 的聚点．如果函数 $ f(x, y) $ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 不连续，那么称 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为函数 $ f(x, y) $ 的间断点．
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓 定义区域 是指包含在定义域内的区域或闭区域。
由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 $P_0$ 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，那么此极限值就是函数在该点的函数值，即
<div class="math display">\[\lim \limits_{P \to P_0} f(P) = f(P_0).
\]</div>在有界闭区域上连续的多元函数具有如下性质：
性质1（有界性与最大值最小值定理）在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数，必定在 $D$ 上有界，且能取得它的最大值和最小值．
性质1就是说，若 $f(P)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则必定存在常数 $M>0$ ，使得对一切 $P \in D$ ，有 $|f(P)| \leqslant M$ ；且存在 $P_{1}, P_{2} \in D$ ，使得
<div class="math display">\[f\left(P_{1}\right)=\max \{f(P) \mid P \in D\}, \quad f\left(P_{2}\right)=\min \{f(P) \mid P \in D\} .
\]</div>性质2（介值定理）在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值． 
＊性质3（一致连续性定理）在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数必定在 $D$ 上 一致连续 ．
性质3就是说，若 $f(P)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得对于 $D$ 上的任意两点 $P_{1}, P_{2}$ ，只要当 $\left|P_{1} P_{2}\right|<\delta$ 时，都有
<div class="math display">\[\left|f\left(P_{1}\right)-f\left(P_{2}\right)\right|<\varepsilon
\]</div>成立．

</div>
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 作者：暮颜—— 衣带渐宽终不悔
 
 出处：https://www.cnblogs.com/mowenpan1995/
 
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