2025女丘

纸桃儿 發表於 2025-10-25 12:18:00

<ol>
<li>设</li>
</ol>
<div class="math display">\[f(x)=\frac{x^2-3x+3}{x^2-x+1}
\]</div>对于所有正整数 \(n\)，求 \(f^{(n)}(x)\)。
<ol start="2">
<li>
设 \(A,B\) 是实对称矩阵，证明：\(tr(ABAB)\le tr(A^2B^2)\)，并求出等号成立的充分必要条件。
</li>
<li>
设 \(a,z,w\) 为复数，其中 \(|a|\le 1\)，\(1+az+\bar{a}w+zw=0\)，求证：\(|z|\le 1\) 或 \(|w|\le 1\)。
</li>
<li>
设有 \(3\) 阶复矩阵 \(A\)，满足 \(tr(A)=3\)，\(tr(A^2)=5\)，\(tr(A^3)=9\)，求证：\(A\) 相似于对角阵。
</li>
<li>
设 \(G=SL_2(\mathbb{R})=\left\{\begin{pmatrix}
a& b\\
c & d
\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 2}\mid ad-bc=1\right\}\)，\(K=SO_2(\mathbb{R})=\left\{\begin{pmatrix}
a& b\\
c & d
\end{pmatrix} \in G\mid \begin{pmatrix}
a& b\\
c & d
\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}
a& b\\
c & d
\end{pmatrix}=I_2\right\}\)，\(\mathcal{H}=\{z=x+yi\in\mathbb{C}\mid y>0 \}\)。定义映射：
</li>
</ol>
<div class="math display">\[G\times \mathcal{H} \to \mathcal{H}
\]</div><div class="math display">\[(g,z)=\left (\begin{pmatrix}
a& b\\
c & d
\end{pmatrix},z\right )\mapsto g\cdot z=\frac{az+b}{cz+d}
\]</div>（a）\(\forall g\in G,z\in \mathcal{H}\)，证明 \(g\cdot z=\frac{az+b}{cz+d}\in \mathcal{H}\)。 
（b）证明这是一个群作用。 
（c）证明 \(G\) 在 \(\mathcal{H}\) 上的作用是传递的，即 \(\mathcal{H}\) 中所有元素都在群作用 \(G\) 的同一轨道上（应该是这么说的吧？） 
（d）证明 \(G/K\) 到 \(\mathcal{H}\) 存在双射。
<ol start="6">
<li>定义 \(S^n=\{(x_0,x_1,\dots,x_n)\mid \sum_{i=0}^n x_i^2=1\}\) 为 \(\mathbb{R}^{n+1}\) 中的 \(n\) 维球面，记 \(a_n\) 为在 \(S^n\) 中随机生成两点之间的平均距离。 
（a）求 \(a_1,a_2\)。 
（b）\(\lim\limits_{n\to \infty}a_n\) 是否存在？存在则求之，不存在则证明。</li>
</ol> 
来源：https://www.cnblogs.com/Xuan-tmp/p/19165144

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