Python求解线性规划——PuLP使用教程
<blockquote><p>简洁是智慧的灵魂，冗长是肤浅的藻饰。——莎士比亚《哈姆雷特》</p>
</blockquote>
<h2 id="1-pulp-库的安装">1 PuLP 库的安装</h2>
<p>如果您使用的是 Anaconda<sup class="footnote-ref"></sup> 的话（事实上我也更推荐这样做），需要先激活你想要安装的虚拟环境，之后在 Prompt 输入</p>
<pre><code class="language-sh">pip install pulp
</code></pre>
<p>不出意外的话等一会就安装完毕。</p>
<h2 id="2-线性规划简介">2 线性规划简介</h2>
<p>想必大家能点开这篇文章一定都知道<strong>线性规划</strong>是什么意思吧……那么我用两个例子再简单说一下。</p>
<h3 id="21-线性规划">2.1 线性规划</h3>
<h4 id="211-题目描述">2.1.1 题目描述<sup class="footnote-ref"></sup></h4>
<p>若变量 <span class="math inline">\(x, y\)</span> 满足约束条件：</p>
<p></p><div class="math display">\[\left\{
\begin{aligned}
& 2x + 3y - 6\geq 0\\
& x + y - 3 \leq 0\\
& y - 2 \leq 0
\end{aligned}
\right.
\]</div><p></p><p>求 <span class="math inline">\(z = 3x + y\)</span> 的最大值。</p>
<h4 id="212-基本概念">2.1.2 基本概念</h4>
<p>首先，我们要认清在这道题中，<span class="math inline">\(x\)</span> 和 <span class="math inline">\(y\)</span> 是可以变的，所以把它们叫做<strong>决策变量</strong>。三个不等式叫做<strong>约束条件</strong>，即 <span class="math inline">\(x\)</span> 和 <span class="math inline">\(y\)</span> 必须同时满足这三个不等式。我们若画出图来：</p>
<img src="https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/blogs/727916/galleries/2095858/o_220426125945_image-20220426182542100.png" alt="image-20220426182542100" style="zoom: 33%">
<p>其中<strong>不满足</strong>约束条件的区域被我标上了颜色，所以 <span class="math inline">\(x, y\)</span> 可以取得值只能在纯白区域内，这一片区域称作<strong>可行域</strong>。</p>
<p>再看最后的我们的目标：求 <span class="math inline">\(z = x + 3y\)</span> 的最大值。</p>
<p>于是 <span class="math inline">\(z=x+3y\)</span> 就被称作<strong>目标函数</strong>，我们的工作就是求这个目标函数的最大值。</p>
<p>整个问题描述为：</p>
<p></p><div class="math display">\[\begin{eqnarray*}
&\max &z = x+3y \tag{1}\\
&\mathrm{s.t.} & \quad 2x + 3y - 6 \geq0 \tag{2}\\
& & \quad x + 3y - 3 \leq 0 \tag{3}\\
& & \quad y - 2 \leq 0 \tag{4}
\end{eqnarray*}
\]</div><p></p><p>然后怎么算？别急我们再看一个例子。</p>
<h3 id="22-整数规划">2.2 整数规划</h3>
<h4 id="221-题目描述">2.2.1 题目描述<sup class="footnote-ref"></sup></h4>
<p>汽车厂生产小、中、大三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求以及利润如下表所示。要求每月的钢材消耗不超过 600 t，总劳动时间不超过 60 000 h。试指定生产计划使得工厂每月的利润最大。</p>
<table>
<thead>
<tr>
<th></th>
<th>小型车</th>
<th>中型车</th>
<th>大型车</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>钢材 / t</td>
<td>1.5</td>
<td>3</td>
<td>5</td>
</tr>
<tr>
<td>劳动时间 / h</td>
<td>280</td>
<td>250</td>
<td>400</td>
</tr>
<tr>
<td>利润 / 万元</td>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<h4 id="222-解题思路">2.2.2 解题思路</h4>
<p>首先，设三个<strong>决策变量</strong>，用 <span class="math inline">\(x_1, x_2, x_3\)</span> 分别表示生产小型车、中型车、大型车的数量，但是注意要满足：</p>
<ul>
<li>车的数量<strong>只能是整数</strong>；</li>
<li>车的数量大于等于 0。</li>
</ul>
<p>其他<strong>约束条件</strong>看题直接列：</p>
<p></p><div class="math display">\[\left\{\begin{aligned}
& 1.5 x_1 + 3 x_2 + 5 x_3 \leq 600\\
& 280 x_1 + 250 x_2 + 400 x_2 \leq 60000
\end{aligned}\right.
\]</div><p></p><p>最后写出<strong>目标函数</strong>：</p>
<p></p><div class="math display">\[z = 2x_1 + 3x_2 + 4x_3
\]</div><p></p><p>综合起来整个问题描述为：</p>
<p></p><div class="math display">\[\begin{eqnarray*}
&\max & z = 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \tag{1}\\
&\mathrm{s.t.} & 1.5 x_1 + 3 x_2 + 5 x_3 \leq 600\tag{2}\\
& & 280 x_1 + 250 x_2 + 400 x_2 \leq 60000\tag{3}\\
& & x_1, x_2, x_3 \geq 0\tag{4}\\
& & x_1, x_2, x_3 均为整数\tag{5}
\end{eqnarray*}
\]</div><p></p><p>另外可以看出这个题由于涉及到三个决策变量，可行域是相当抽象的，这里就不画了 hhh~</p>
<h2 id="3-求解过程">3 求解过程</h2>
<p>首先在最前面引入所需的<code>pulp</code>工具库：</p>
<pre><code class="language-python">import pulp as pl
</code></pre>
<p>这句话是引入 <code>pulp</code> 库并简写为 <code>pl</code>，一个 python 库只有在开始 <code>import</code> 了之后才能在后面使用。这样后面凡是用到 <code>pulp</code> 的功能都要写成 <code>pl.xxx</code>。</p>
<p>接下来是以下几个步骤：</p>
<ul>
<li>定义模型</li>
<li>定义决策变量</li>
<li>添加约束条件</li>
<li>添加目标函数</li>
<li>模型求解</li>
<li>打印结果</li>
</ul>
<h3 id="31-定义模型">3.1 定义模型</h3>
<pre><code class="language-python"># Define the model
model = pl.LpProblem(name="My-Model", sense=pl.LpMaximize)
</code></pre>
<p>这个操作是使用 <code>pl.LpProblem</code> 创建了一个模型并赋值给变量 <code>model</code>，接收两个参数：</p>
<ul>
<li><code>name</code>：模型的名字，随便起一个；</li>
<li><code>sense</code>：模型的类型，<code>pl.LpMinimize</code>是求目标函数的最小值，<code>pl.LpMaximize</code> 是求最大值</li>
</ul>
<h3 id="32-定义决策变量">3.2 定义决策变量</h3>
<pre><code class="language-python"># Define the decision variables
x = pl.LpVariable(name='x')
y = pl.LpVariable(name='y')
</code></pre>
<p>如果你的变量比较少的话可以简单这么写。这个意思是定义了两个浮点数变量，取值范围是整个实数域。注意等号左边的变量才是你在之后的计算式中使用的符号，而参数 <code>name</code> 只有在最后打印结果的时候才会被打印出来。另外如果你对变量有其他要求的话可以添加以下参数：</p>
<ul>
<li><code>lowBound</code>：变量的最小取值（不写的话默认负无穷）；</li>
<li><code>upBound</code>：变量的最大取值（默认正无穷）；</li>
<li><code>cat</code>：变量的类型，有 <code>pl.Binary</code> 逻辑变量、<code>pl.Integer</code> 整数、<code>pl.Continuous</code> 实数（默认值）；</li>
</ul>
<p>如果你的变量比较多而不得不用 1, 2, 3…… 来编号，可以采用类似这样的写法：</p>
<pre><code class="language-python"># Define the decision variables
x = {i: pl.LpVariable(name=f"x{i}", lowBound=0, cat=pl.LpInteger) for i in range(1, 9)}
</code></pre>
<p>这是一次定义 8 个变量并保存在一个类似数组的结构中，变量都是<strong>正整数</strong>，分别用 <code>x</code>,<code> x</code>, ..., <code>x</code> 表示，依次命名为 x1, x2,..., x8。</p>
<blockquote>
<p>注意 <code>range(left, right)</code> 表示的区间是左闭右开。</p>
</blockquote>
<h3 id="33-添加约束条件">3.3 添加约束条件</h3>
<pre><code class="language-python"># Add constraints
model += (2 * x + 3 * y - 6 >= 0, "constrain_1")
model += (x + 3 * y - 3 == 0, "constrain_2")
</code></pre>
<p>没错！如你所见就是这么简单，括号里第一个变量就是你的约束<strong>不等式</strong>或<strong>等式</strong>，第二个变量是你的自定义的约束名（可以起一个有意义的名字，当然也可以省略）。</p>
<blockquote>
<p>由于一些比较数学的原因，约束条件里是不能使用大于号“>”或小于号“<”的。</p>
</blockquote>
<p>如果你像前面一样把变量定义在了数组中，那么可以直接用方括号调用：</p>
<pre><code class="language-python">model += (2 * x + 3 * x - 6 >= 0)
</code></pre>
<h3 id="34-添加目标函数">3.4 添加目标函数</h3>
<pre><code class="language-python"># Set the objective
model += x + 3 * y
</code></pre>
<p>与前面添加约束条件不同，添加目标函数这一步不用加最外层的括号。</p>
<h3 id="35-模型求解">3.5 模型求解</h3>
<pre><code class="language-python"># Solve the optimization problem
status = model.solve()
</code></pre>
<p>就写这一句话，调用 <code>model</code> 的 <code>solve()</code> 方法，并把结果保存在 <code>status</code> 中。</p>
<h3 id="34-打印结果">3.4 打印结果</h3>
<pre><code class="language-python"># Get the results
print(f"status: {model.status}, {pl.LpStatus}")
print(f"objective: {model.objective.value()}")
for var in model.variables():
print(f"{var.name}: {var.value()}")
for name, constraint in model.constraints.items():
print(f"{name}: {constraint.value()}")
</code></pre>
<p>然后你就能看到模型求解的结果了。</p>
<h2 id="4-示例代码">4 示例代码</h2>
<h3 id="41-高考题代码">4.1 高考题代码</h3>
<p>首先解决一下 3.1 的高考题：</p>
<pre><code class="language-python">import pulp as pl
# 定义一个模型，命名为 "Model_3.1"，求最大值
model = pl.LpProblem(name="Model_3.1", sense=pl.LpMaximize)
# 定义两个决策变量，取值为整个实数域
x = pl.LpVariable(name='x')
y = pl.LpVariable(name='y')
# 添加三个约束条件
model += (2 * x + 3 * y - 6 >= 0)
model += (x + y - 3 <= 0)
model += (y - 2 <= 0)
# 目标函数
model += x + 3 * y
# 求解
status = model.solve()
# 打印结果
print(f"status: {model.status}, {pl.LpStatus}")
print(f"objective: {model.objective.value()}")
for var in model.variables():
print(f"{var.name}: {var.value()}")
for name, constraint in model.constraints.items():
print(f"{name}: {constraint.value()}")
</code></pre>
<p>查看结果的最后几行：</p>
<pre><code class="language-X">status: 1, Optimal
objective: 7.0
x: 1.0
y: 2.0
_C1: 2.0
_C2: 0.0
_C3: 0.0
</code></pre>
<p>最大值是 <span class="math inline">\(7.0\)</span>，在 <span class="math inline">\(x=1.0, y=2.0\)</span> 时取到。</p>
<h3 id="42-汽车厂代码">4.2 汽车厂代码</h3>
<pre><code class="language-python">import pulp as pl
# 定义一个模型，命名为 "Model_3.2"，求最大值
model = pl.LpProblem(name="Model_3.2", sense=pl.LpMaximize)
# 定义三个决策变量，取值正整数
x = {i: pl.LpVariable(name=f"x{i}", lowBound=0, cat=pl.LpInteger) for i in range(1, 4)}
# 添加约束条件
model += (1.5 * x + 3 * x + 5 * x <= 600)
model += (280 * x + 250 * x + 400 * x <= 60000)
# 目标函数
model += 2 * x + 3 * x + 4 * x
# 求解
status = model.solve()
# 打印结果
print(f"status: {model.status}, {pl.LpStatus}")
print(f"objective: {model.objective.value()}")
for var in model.variables():
print(f"{var.name}: {var.value()}")
for name, constraint in model.constraints.items():
print(f"{name}: {constraint.value()}")
</code></pre>
<p>查看结果的最后几行：</p>
<pre><code class="language-X">status: 1, Optimal
objective: 632.0
x1: 64.0
x2: 168.0
x3: 0.0
_C1: 0.0
_C2: -80.0
</code></pre>
<p>三种车的产量分别取 64、168、0，最大收益 632 万元。</p>
<hr class="footnotes-sep">
<section class="footnotes">
<ol class="footnotes-list">
<li id="fn1" class="footnote-item"><p>众所周知 Python 在各个领域如此受欢迎很大程度上是因为其有众多强大的第三方库，但是用的多了就会发现如果安装太多库就有点乱。而 Anaconda 就是一种很方便的管理 Python 环境的工具，不仅可以将不同的库分门别类管理好，更有用的是可以在电脑上安装<strong>不同版本</strong>的 Python 而不用担心会互相冲突。 ↩︎</p>
</li>
<li id="fn2" class="footnote-item"><p>2019 年高考数学全国二卷。 ↩︎</p>
</li>
<li id="fn3" class="footnote-item"><p>改编自姜启源等《数学模型（第五版）》108 页例 1。 ↩︎</p>
</li>
</ol>
</section><br><br>
来源：https://www.cnblogs.com/OnlyAR/p/16196469.html
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