考研高等数学笔记01：函数与极限 绪论
<h1 id="考研高等数学笔记01函数与极限-绪论">考研高等数学笔记01：函数与极限 绪论</h1><h1 id="1-绪论">1 绪论</h1>
<h2 id="11-微积分研究的主要内容">1.1 微积分研究的主要内容</h2>
<p>微积分研究的主要内容是：<strong>事物运动中的数量变化规律</strong>，包括：</p>
<p></p><div class="math display">\[事物运动中的数量变化规律
\begin{cases}
观察方式\begin{cases}宏观\\微观\end{cases}\\\\
变化方式\begin{cases}均匀变化\\非均匀变化\end{cases}
\end{cases}
\]</div><p></p><h2 id="12-微观方式的研究示例">1.2 微观方式的研究示例</h2>
<p>（1）均匀变化：</p>
<p>设水平面上存在一物体，该物体从某时刻<span class="math inline">\(t_0\)</span>开始进行匀速移动，至某时刻<span class="math inline">\(t_n\)</span>时，该物体的移动距离为<span class="math inline">\(\Delta s\)</span></p>
<p>设该物体的移动速度为<span class="math inline">\(v\)</span>，则有：</p>
<p></p><div class="math display">\[\tag{1}
v = \frac{\Delta s}{t_n - t_0}
\]</div><p></p><p>（2）非均匀变化</p>
<p>设水平面上存在一物体，该物体从某时刻<span class="math inline">\(t_0\)</span>开始进行非匀速移动，至某时刻<span class="math inline">\(t_i\)</span>时，该物体的移动距离为<span class="math inline">\(\Delta s\)</span>，时差为<span class="math inline">\(\Delta t\)</span></p>
<p>设<span class="math inline">\(t_0\)</span>时刻至<span class="math inline">\(t_i\)</span>时刻间该物体的平均移动速度为<span class="math inline">\(\overline{v_i}\)</span>，则有：</p>
<p></p><div class="math display">\[\tag{2}
\overline{v_i} = \frac{\Delta s}{t_i - t_0} = \frac{\Delta s}{\Delta t}
\]</div><p></p><p>设该物体在<span class="math inline">\(t_i\)</span>时刻的瞬时速度为<span class="math inline">\(v_i\)</span>，若<span class="math inline">\({\Delta t}\)</span>的值足够小，则有：</p>
<p></p><div class="math display">\[\tag{3}
v_i \approx \overline{v_i} \approx \frac{\Delta s}{\Delta t}
\]</div><p></p><p>由极限相关性质，式(3)可进一步写为：</p>
<p></p><div class="math display">\[v_i = \lim_{t_i \to t_0}{\overline{v_i}}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\qquad\quad=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\tag{4}
\quad\qquad\qquad\qquad\qquad=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\tag{5}
\quad=\frac{ds}{dt}
\]</div><p></p><h2 id="13-宏观方式的研究示例">1.3 宏观方式的研究示例</h2>
<p>（1）均匀变化：</p>
<p>设水平面上存在一物体，该物体从某时刻<span class="math inline">\(t_0\)</span>开始，以速度<span class="math inline">\(v\)</span>进行匀速移动，至某时刻<span class="math inline">\(t_n\)</span></p>
<p>设<span class="math inline">\(t_n\)</span>时刻该物体的移动距离为<span class="math inline">\(s\)</span>，则有：</p>
<p></p><div class="math display">\[\tag{6}
s = v\cdot (t_n-t_0)
\]</div><p></p><p>（2）非均匀变化</p>
<p>设水平面上存在一物体，该物体从某时刻<span class="math inline">\(t_0\)</span>开始，进行非匀速移动，至某时刻<span class="math inline">\(t_n\)</span></p>
<p>设存在<span class="math inline">\(t_0\)</span>至<span class="math inline">\(t_n\)</span>间的某时刻<span class="math inline">\(t_{k-1}\)</span>、<span class="math inline">\(t_k\)</span>，对应的瞬时速度为<span class="math inline">\(v_{k-1}\)</span>、<span class="math inline">\(v_k\)</span>。</p>
<p>若<span class="math inline">\(t_{k-1}\)</span>与<span class="math inline">\(t_k\)</span>的时差足够小，则有：</p>
<p></p><div class="math display">\[\tag{7}
v_k \approx v_{k-1}
\]</div><p></p><p>设<span class="math inline">\(v(\xi_k)\)</span>为 <span class="math inline">\(v_{k-1}\)</span>与<span class="math inline">\(v_k\)</span> 间的一近似值，则物体在<span class="math inline">\(t_{k-1}\)</span>至<span class="math inline">\(t_k\)</span>间的位移<span class="math inline">\(\Delta s_k\)</span>可表示为：</p>
<p></p><div class="math display">\[\tag{8}
\Delta s_k\approx v(\xi_k) \cdot \Delta t_k
\]</div><p></p><p>设物体从<span class="math inline">\(t_0\)</span>时刻至<span class="math inline">\(t_n\)</span>时刻的总位移为<span class="math inline">\(s\)</span>，则有：</p>
<p></p><div class="math display">\[\tag{9}
s \approx \sum_{k=1}^n \Delta s_k \approx \sum_{k=1}^n v(\xi_k) \cdot \Delta t_k
\]</div><p></p><p>由极限相关性质可得：</p>
<p></p><div class="math display">\[\tag{10}
\qquad\qquad s=\lim_{\Delta t_k \to 0}{\sum_{k=1}^n v(\xi_k) \cdot \Delta t_k}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\tag{11}
=\int_{t_0}^{t_n} v(t) dt
\]</div><p></p><br><br>
来源：https://www.cnblogs.com/efancn/p/19489041
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