考研高等数学笔记01：函数与极限 绪论
1 绪论
1.1 微积分研究的主要内容
微积分研究的主要内容是：事物运动中的数量变化规律，包括：
\[事物运动中的数量变化规律
\begin{cases}
观察方式\begin{cases}宏观\\微观\end{cases}\\\\
变化方式\begin{cases}均匀变化\\非均匀变化\end{cases}
\end{cases}
\] 1.2 微观方式的研究示例
（1）均匀变化：
设水平面上存在一物体，该物体从某时刻\(t_0\)开始进行匀速移动，至某时刻\(t_n\)时，该物体的移动距离为\(\Delta s\)
设该物体的移动速度为\(v\)，则有：
\[\tag{1}
v = \frac{\Delta s}{t_n - t_0}
\] （2）非均匀变化
设水平面上存在一物体，该物体从某时刻\(t_0\)开始进行非匀速移动，至某时刻\(t_i\)时，该物体的移动距离为\(\Delta s\)，时差为\(\Delta t\)
设\(t_0\)时刻至\(t_i\)时刻间该物体的平均移动速度为\(\overline{v_i}\)，则有：
\[\tag{2}
\overline{v_i} = \frac{\Delta s}{t_i - t_0} = \frac{\Delta s}{\Delta t}
\] 设该物体在\(t_i\)时刻的瞬时速度为\(v_i\)，若\({\Delta t}\)的值足够小，则有：
\[\tag{3}
v_i \approx \overline{v_i} \approx \frac{\Delta s}{\Delta t}
\] 由极限相关性质，式(3)可进一步写为：
\[v_i = \lim_{t_i \to t_0}{\overline{v_i}}
\] \[\qquad\quad=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}
\] \[\tag{4}
\quad\qquad\qquad\qquad\qquad=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}}
\] \[\tag{5}
\quad=\frac{ds}{dt}
\] 1.3 宏观方式的研究示例
（1）均匀变化：
设水平面上存在一物体，该物体从某时刻\(t_0\)开始，以速度\(v\)进行匀速移动，至某时刻\(t_n\)
设\(t_n\)时刻该物体的移动距离为\(s\)，则有：
\[\tag{6}
s = v\cdot (t_n-t_0)
\] （2）非均匀变化
设水平面上存在一物体，该物体从某时刻\(t_0\)开始，进行非匀速移动，至某时刻\(t_n\)
设存在\(t_0\)至\(t_n\)间的某时刻\(t_{k-1}\)、\(t_k\)，对应的瞬时速度为\(v_{k-1}\)、\(v_k\)。
若\(t_{k-1}\)与\(t_k\)的时差足够小，则有：
\[\tag{7}
v_k \approx v_{k-1}
\] 设\(v(\xi_k)\)为 \(v_{k-1}\)与\(v_k\) 间的一近似值，则物体在\(t_{k-1}\)至\(t_k\)间的位移\(\Delta s_k\)可表示为：
\[\tag{8}
\Delta s_k \approx v(\xi_k) \cdot \Delta t_k
\] 设物体从\(t_0\)时刻至\(t_n\)时刻的总位移为\(s\)，则有：
\[\tag{9}
s \approx \sum_{k=1}^n \Delta s_k \approx \sum_{k=1}^n v(\xi_k) \cdot \Delta t_k
\] 由极限相关性质可得：
\[\tag{10}
\qquad\qquad s=\lim_{\Delta t_k \to 0}{\sum_{k=1}^n v(\xi_k) \cdot \Delta t_k}
\] \[\tag{11}
=\int_{t_0}^{t_n} v(t) dt
\]
来源：https://www.cnblogs.com/efancn/p/19489041 |
發表於 2026-1-15 19:43:00