一元二次方程全套教程一命速通

无名之人 發表於 2025-6-2 20:42:00

<pre><code>文化水平：初二。
文章是一元二次方程概念性知识速通版。请不要盲目模仿文章中的格式。
</code></pre>
<h1 id="一元二次方程的定义">一元二次方程的定义</h1>
<p>一个正方形的面积是<span class="math inline">$5$</span>，请列方程求出边长。<br>
我国两年内总人口从<span class="math inline">$139538$</span>万人增长到<span class="math inline">$141177$</span>万人，请列方程求出年平均增长率。<br>
在循环赛中，<span class="math inline">$x$</span>个球队总计赛<span class="math inline">$36$</span>场，求<span class="math inline">$x$</span>。</p>
<p>以上这些实际问题分别列方程为：</p>
<p></p><div class="math display">\[x^2=5
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[1395380000(1+x)^2=1411770000
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\frac {x(x-1)} 2=36
\]</div><p></p><p>这些方程都有一个共同点：<strong>展开后，<span class="math inline">$x$</span>的最高次为<span class="math inline">$2$</span></strong>。</p>
<p>我们定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做<strong>一元二次方程</strong>（quadratic equation with one unknown）。</p>
<p>一元二次方程的一般形式是<span class="math inline">$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$</span>。其中，<span class="math inline">$ax^2$</span>、<span class="math inline">$bx$</span>和<span class="math inline">$c$</span>分别叫做二次项、一次项和常数项，<span class="math inline">$a$</span>、<span class="math inline">$b$</span>分别叫做二次项系数、一次项系数。</p>
<p>一元二次方程的解应该写成<span class="math inline">$x_1=a, x_2=b$</span>的形式。</p>
<h1 id="一元二次方程的解法">一元二次方程的解法</h1>
<blockquote>
<p>一元二次方程我哪会解啊。我只会解<strong>一元一次方程</strong>。</p>
</blockquote>
<h2 id="直接开平方法">直接开平方法</h2>
<p>解方程：</p>
<p></p><div class="math display">\[x^2=9
\]</div><p></p><p>Hmm...我希望把一元二次方程<strong>转化为</strong>一元一次方程，那我就利用<strong>算术平方根</strong>进行<strong>降次</strong>。</p>
<p></p><div class="math display">\[x=±\sqrt 9=±3
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x_1=3, x_2=-3
\]</div><p></p><p>简单😎。那么类比我们可以通过直接开方解出以下类型的方程：</p>
<p></p><div class="math display">\[x^2=k
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x^2+h=k
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(x+h)^2=k
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(x+h)^2+p=k
\]</div><p></p><h3 id="练习">练习</h3>
<blockquote>
<p>用直接开平方法解以下方程：</p>
<p></p><div class="math display">\[(1)x^2=9
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(2)x^2+1=\frac {13} 4
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(3)(x+2)^2=5
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(4)x^2+8=\frac {31}{4}
\]</div><p></p></blockquote>
<h2 id="配方法">配方法</h2>
<p>解方程：</p>
<p></p><div class="math display">\[x^2-4x+3=0
\]</div><p></p><p>啊，直接开平方法这不炸了吗，连开方都开不了。<br>
那就<strong>配出【一个】平方</strong>。</p>
<p></p><div class="math display">\[x^2-4x+4=1
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(x-2)^2=1
\]</div><p></p><p>然后利用直接开平方法即可。</p>
<p></p><div class="math display">\[x-2=±1
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x_1=3, x_2=1
\]</div><p></p><p>这是二次项系数为<span class="math inline">$1$</span>的配方法，那如果二次项系数不为<span class="math inline">$1$</span>呢？</p>
<p></p><div class="math display">\[2x^2+x-3=0
\]</div><p></p><p>没事，让我们转化一下。</p>
<p></p><div class="math display">\[x^2+\frac 1 2x-\frac 3 2=0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x^2+2\cdot \frac 1 4x+\frac 1 {16}=\frac {25}{16}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(x+\frac 1 4)^2=\frac {25}{16}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x+\frac 1 4=±\frac 5 4
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x_1=1, x_2=-\frac 3 2
\]</div><p></p><p>这就是系数不为<span class="math inline">$1$</span>的配方法。</p>
<p>哎，你看，既然我们具体数字的配方法会了，那么把数字换成字母，你没有理由不会了吧！<br>
解方程：</p>
<p></p><div class="math display">\[x^2+px+q=0
\]</div><p></p><p>哎呀，这不就是基本操作嘛！配方上！</p>
<p></p><div class="math display">\[x^2+px+\frac {p^2} 4=\frac {p^2} 4-q
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(x+\frac p 2)^2=\frac {p^2-4q} 4
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x+\frac p 2=±\frac {\sqrt {p^2-4q}} 2
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x_1=\frac {-p+\sqrt {p^2-4q}} 2,x_2=\frac {-p-\sqrt {p^2-4q}} 2
\]</div><p></p><p>哎？怎么错了？<br>
哦，原来<span class="math inline">$p^2-4q$</span>没说一定要大于等于<span class="math inline">$0$</span>。</p>
<p></p><div class="math display">\[①p^2-4q>0: x_1=\frac {-p+\sqrt {p^2-4q}} 2,x_2=\frac {-p-\sqrt {p^2-4q}} 2
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[②p^2-4q=0: x_1=x_2=-\frac p 2
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[③p^2-4q<0: 方程没有实数根
\]</div><p></p><p>这提醒我们，以后一定要注意<strong>分情况讨论</strong>。<br>
其实这里算出来的<span class="math inline">$x_1$</span>和<span class="math inline">$x_2$</span>，就是<strong>求根公式</strong>的变形。</p>
<h3 id="配方法的几何意义">配方法的几何意义</h3>
<p>让我们移步到《周髀算经》，看看我们的赵爽同学是如何解形如<span class="math inline">$x^2+px=q$</span>的一元二次方程的。<br>
容易发现，任意一个一元二次方程都可以化为<span class="math inline">$x^2+px=q$</span>的形式。<br>
众所周知，古时候的人们在认识数学时，都是从生活中得到的灵感，因此他们在思想上自然地排除掉了<strong>负数</strong>的一种情况。于是赵爽同学只研究了<span class="math inline">$x\geq0$</span>的一种情况，这是因古时人们的思考方式决定的，我们也不能说他错。毕竟几何上基本是没有负数一说的。</p>
<p>首先赵爽将方程变形为：</p>
<p></p><div class="math display">\[x(x+p)=q
\]</div><p></p><p>这一步的几何意义是<strong>构造一个长方形，其一边是<span class="math inline">$x$</span>，另一边是<span class="math inline">$x+p$</span>，而面积是<span class="math inline">$q$</span></strong>。<br>
<img src="https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/qc5rpre3.png"><br>
接下来，赵爽发动传统艺能勾股弦图，复制粘贴了四份，并按照弦图的方法拼起来。<br>
<img src="https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/iqmhwrby.png"><br>
赵爽惊奇地发现，拼成的正方形面积等于<span class="math inline">$(x+x+p)^2$</span>，而同时又等于四个长方形加一个正方形，即<span class="math inline">$p^2+4q$</span>，因此容易有：</p>
<p></p><div class="math display">\[(2x+p)^2=p^2+4q
\]</div><p></p><p>我们开方的过程，相当于在求正方形的边长。</p>
<p></p><div class="math display">\[2x+p=\sqrt {p^2+4q}
\]</div><p></p><p>成功地完成了降次。</p>
<p>赵爽同学最终推出来的“求根公式”是：</p>
<p></p><div class="math display">\[x=\frac {-p+\sqrt {p^2+4q}} 2
\]</div><p></p><p>在不考虑负数的情况下，该公式<strong>完全正确</strong>。因为我们刚刚考虑的是<span class="math inline">$x^2+px+q=0$</span>，和赵爽的原方程中<span class="math inline">$q$</span>构成相反数，因此此处是<span class="math inline">$p^2+4q$</span>。<br>
有的人就要叫起来了，哎主播主播，他没有考虑根号下小于<span class="math inline">$0$</span>！<br>
首先，在几何方面解释，一个正方形的面积怎么可能是负数呢？不用考虑。另外，赵爽同学默认了<span class="math inline">$q\geq0$</span>，因此可推出<span class="math inline">$p^2+4q\geq0$</span>，到头来还是因为古代不接受负数。</p>
<p>课本上利用了不同的几何方法，大家可以自行研究。<br>
<img src="https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/vq4yimwq.png"></p>
<h3 id="练习-1">练习</h3>
<blockquote>
<p>用配方法解以下方程：</p>
<p></p><div class="math display">\[(1)x^2 + 5x + 6 = 0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(2)x^2 - \frac 3 2x - 1 = 0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(3)2x^2+ 12x - 14 = 0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(4)3x^2 - 9x + 6 = 0
\]</div><p></p></blockquote>
<h2 id="公式法">公式法</h2>
<p>有的同学说，主播主播，这个配方法还是太吃操作了，还十分的繁琐。有没有什么简单（无脑）又强势（迪奥）的方法推荐一下呢？<br>
有的兄弟，有的。让我们把配方法里面的数字用字母表示，然后推算一遍。</p>
<p></p><div class="math display">\[ax^2+bx+c=0(a\neq 0)
\]</div><p></p><p>因为<span class="math inline">$a\neq 0$</span>，所以两边同除以<span class="math inline">$a$</span>：</p>
<p></p><div class="math display">\[x^2+\frac b ax+\frac c a=0
\]</div><p></p><p>仿照二次项系数为<span class="math inline">$1$</span>的配方法进行配方：</p>
<p></p><div class="math display">\[x^2+2\cdot \frac b {2a}x+\frac {b^2}{4a^2}=\frac {b^2}{4a^2}-\frac c a
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(x+\frac b {2a})^2=\frac {b^2-4ac} {4a^2}
\]</div><p></p><p>方程化为了<span class="math inline">$(x+h)^2=k$</span>的形式。首先应<strong>判断<span class="math inline">$\frac {b^2-4ac} {4a^2}$</span>的正负</strong>。</p>
<p></p><div class="math display">\[\because a\neq 0\therefore 4a^2>0
\]</div><p></p><p>方程若有解，即<span class="math inline">$\frac {b^2-4ac} {4a^2}\geq0$</span>，因此只能有<span class="math inline">$b^2-4ac\geq 0$</span>。</p>
<p></p><div class="math display">\[当b^2-4ac\geq 0时，
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x+\frac b {2a}=\frac {±\sqrt {b^2-4ac}} {2a}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x_1=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac}} {2a}, x_2=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac}} {2a}
\]</div><p></p><p>你发现，一元二次方程<span class="math inline">$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$</span>的根是由方程的各系数<span class="math inline">$a, b,c$</span>确定的。<strong>当<span class="math inline">$b^2-4ac\geq0$</span>时</strong>，它的实数根是：</p>
<p></p><div class="math display">\[x=\frac {-b±\sqrt {b^2-4ac}} {2a}
\]</div><p></p><p>有的同学要叫起来了。<br>
这是<strong>求根公式——最纯粹的力量</strong>。直接套用求根公式得到一元二次方程实数根的方法被称作<strong>公式法</strong>。</p>
<p>从求根公式中，你可以看出一元二次方程实数根的个数和什么有关吗？</p>
<p>你发现，根号下的<span class="math inline">$b^2-4ac$</span>是重点。当它大于<span class="math inline">$0$</span>时，<span class="math inline">$±\sqrt {b^2-4ac}$</span>可以开出两个实数；当它等于<span class="math inline">$0$</span>时，<span class="math inline">$±\sqrt {b^2-4ac}$</span>只能开出一个<span class="math inline">$0$</span>；当它小于<span class="math inline">$0$</span>时，根号无意义。</p>
<p>因此，我们容易得出：</p>
<table>
<thead>
<tr>
<th style="text-align: center"><span class="math inline">$b^2-4ac$</span></th>
<th style="text-align: center">解的情况</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$>0$</span></td>
<td style="text-align: center">有两个不相等的实数根</td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$=0$</span></td>
<td style="text-align: center">有两个相等的实数根</td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$<0$</span></td>
<td style="text-align: center">没有实数根</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>这个时候有的同学又要叫起来了。<br>
我们定义，<span class="math inline">$b^2-4ac$</span>是一元二次方程<span class="math inline">$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$</span>的<strong>根的判别式</strong>，记为<span class="math inline">$\Delta$</span>。</p>
<blockquote>
<p>备注：在新版教材里，不强调<span class="math inline">$\Delta$</span>。请不要在练习中出现这个“三角形”。</p>
</blockquote>
<h3 id="双圈问题">“双圈”问题</h3>
<blockquote>
<p>已知关于<span class="math inline">$x$</span>的<strong>一元二次方程</strong><span class="math inline">$ax^2-2x+1=0$</span><strong>有两个不相等的实数根</strong>，求<span class="math inline">$a$</span>的取值范围。</p>
</blockquote>
<p>第一次做这道题目的你：</p>
<p></p><div class="math display">\[b^2-4ac=4-4a>0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[a<1
\]</div><p></p><p>哎？怎么错了？<br>
卧槽，原来是<strong>一元二次方程</strong>，有<span class="math inline">$a\neq0$</span>。</p>
<blockquote>
<p>已知关于<span class="math inline">$x$</span>的<strong>方程</strong><span class="math inline">$ax^2-6x+5=0$</span><strong>有实数根</strong>，求<span class="math inline">$a$</span>的取值范围。</p>
</blockquote>
<p>这下真的看清楚了。</p>
<p></p><div class="math display">\[\left\{
\begin{aligned}
&b^2-4ac=36-20a\geq 0 \\
&a\neq 0\\
\end{aligned}
\right.\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[a\leq \frac 9 5且a\neq 0
\]</div><p></p><p>又错了？<br>
哦，原来这次是<strong>方程</strong>。<span class="math inline">$a\leq \frac 9 5$</span>。</p>
<p>这样的题目，我们称为“双圈问题”。以下是一些双圈问题的条件搭配：</p>
<p>对于方程<span class="math inline">$ax^2+bx+c=0$</span>：</p>
<table>
<thead>
<tr>
<th style="text-align: center"></th>
<th style="text-align: center"></th>
<th style="text-align: center"><span class="math inline">$A$</span></th>
<th style="text-align: center"><span class="math inline">$B$</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td style="text-align: center"></td>
<td style="text-align: center"></td>
<td style="text-align: center"><strong>一元二次方程</strong></td>
<td style="text-align: center"><strong>方程</strong></td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$1$</span></td>
<td style="text-align: center"><strong>有两个不相等的实数根</strong></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$a\neq 0且b^2-4ac>0$</span></td>
<td style="text-align: center">见<span class="math inline">$A1$</span></td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$2$</span></td>
<td style="text-align: center"><strong>有两个相等的实数根</strong></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$a\neq 0且b^2-4ac=0$</span></td>
<td style="text-align: center">见<span class="math inline">$A2$</span></td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$3$</span></td>
<td style="text-align: center"><strong>有两个实数根</strong></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$a\neq 0且b^2-4ac\geq0$</span></td>
<td style="text-align: center">见<span class="math inline">$A3$</span></td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$4$</span></td>
<td style="text-align: center"><strong>有实数根</strong></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$b^2-4ac\geq0且a\neq0$</span></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$\left\{\begin{aligned}&a=0&b\neq 0或b=0且c=0\\&a\neq 0&b^2-4ac\geq0\\\end{aligned}\right.$</span></td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$5$</span></td>
<td style="text-align: center"><strong>没有实数根</strong></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$b^2-4ac<0$</span></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$\left\{\begin{aligned}&a=0&b=0且c\neq 0\\&a\neq 0&b^2-4ac<0\\\end{aligned}\right.$</span></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>这里面的规律，读者自证不难。不过，让我们复习一下：</p>
<blockquote>
<p>解方程：</p>
<p></p><div class="math display">\[ax=b
\]</div><p></p></blockquote>
<p>答案：</p>
<blockquote>
<p></p><div class="math display">\[\left\{\begin{aligned}&a\neq0&x=\frac b a\\&a=0&\left\{\begin{aligned}&b=0&x取全体实数\\&b\neq 0&x无解\\\end{aligned}\right.\\\end{aligned}\right.
\]</div><p></p></blockquote>
<p>提示：“双圈问题”在解答题中一般分值较高。请注意该类题型的格式与技巧。</p>
<h3 id="练习-2">练习</h3>
<blockquote>
<p>$1. $用公式法解以下方程：</p>
<p></p><div class="math display">\[(1)x^2+4x-5=0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(2)3x^2-x-2=0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(3)-2x^2+2\sqrt 2x+1=0
\]</div><p></p><p>$2. $不解方程，判别方程根的情况：</p>
<p></p><div class="math display">\[(1)x^2+3x-1=0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(2)2y^2-3y+4=0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(3)x^2+5=2\sqrt 5x
\]</div><p></p></blockquote>
<h2 id="因式分解法">因式分解法</h2>
<p>解方程：</p>
<p></p><div class="math display">\[x^2-x=0
\]</div><p></p><p>左边因式分解：</p>
<p></p><div class="math display">\[x(x-1)=0
\]</div><p></p><p>可得两个一次方程：</p>
<p></p><div class="math display">\[x=0\ \ \ \ \ \ \(1)\ \ \ x-1=0\ \ \ \ \ \ \(2)
\]</div><p></p><p>解得：</p>
<p></p><div class="math display">\[x_1=0, x_2=1
\]</div><p></p><p><strong>因式分解法</strong>，无师自通。<br>
仅适用于左边可以因式分解的一元二次方程。</p>
<h3 id="练习-3">练习</h3>
<blockquote>
<p>用因式分解法解以下方程：</p>
<p></p><div class="math display">\[(1)x^2+6x=0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(2)9t^2-(t-1)^2=0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(3)25x^2-5x+\frac 1 4=0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[(4)(x+1)^2+8x+24=0
\]</div><p></p></blockquote>
<blockquote>
<p>备注：在实际应用中，没有要求一定要用哪种方法解方程，你可以选择合适的方法解方程。常用的顺序是：</p>
<p><strong>因式分解法→公式法→配方法（被世界遗忘）</strong><br>
直接开平方法只在特殊情况下能用。</p>
</blockquote>
<h1 id="一元二次方程的根与系数的关系韦达定理">一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）</h1>
<p>观察下列方程：</p>
<table>
<thead>
<tr>
<th style="text-align: center">方程</th>
<th style="text-align: center"><span class="math inline">$x_1$</span></th>
<th style="text-align: center"><span class="math inline">$x_2$</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$x^2-5x+4=0$</span></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$1$</span></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$4$</span></td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$x^2+5x+6=0$</span></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$-2$</span></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$-3$</span></td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$x^2+7x-8=0$</span></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$1$</span></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$-8$</span></td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$2x^2+7x-4=0$</span></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$\frac 1 2$</span></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$-4$</span></td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$2x^2-9x+7=0$</span></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$1$</span></td>
<td style="text-align: center"><span class="math inline">$\frac 7 2$</span></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>观察这两个根与系数<span class="math inline">$a,b,c$</span>之间有什么关系？</p>
<p>经过尝试，我们惊奇的发现对于一元二次方程<span class="math inline">$ax^2+bx+c=0$</span>，若有两个实数根<span class="math inline">$x_1, x_2$</span>，则两根的和似乎都等于<span class="math inline">$-\frac b a$</span>，两根的积都等于<span class="math inline">$\frac ca$</span>。<br>
能否进行验证呢？很简单，掏出我们<strong>最纯粹的力量</strong>。</p>
<p></p><div class="math display">\[已知对于方程ax^2+bx+c=0(b^2-4ac \geq0且a\neq 0)，
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[其两根分别为x_1=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac}} {2a}, x_2=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac}} {2a}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x_1+x_2=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac}-b-\sqrt {b^2-4ac}} {2a}=-\frac b a
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x_1x_2=\frac {(-b)^2-(\sqrt {b^2-4ac})^2} {4a^2}=\frac {b^2-b^2+4ac} {4a^2}=\frac c a
\]</div><p></p><p>证毕。</p>
<p>这个神奇的定理被称作<strong>韦达定理</strong>。</p>
<p>这个结论在求两根和与积、已知一根求另一根或者由根反推方程式时十分好用。韦达定理的有关题目并没有什么难度，我们简单归纳一下：一种大题和一种小题。</p>
<h2 id="证明大题">证明大题</h2>
<blockquote>
<p>已知关于<span class="math inline">$x$</span>的一元二次方程<span class="math inline">$x^2+(m+3)x+m+1=0$</span>。<br>
<span class="math inline">$(1)$</span>求证：无论<span class="math inline">$m$</span>取何值，原方程总有两个不相等的实数根；<br>
<span class="math inline">$(2)$</span>若<span class="math inline">$x_1$</span>、<span class="math inline">$x_2$</span>是原方程的两根，且<span class="math inline">$|x_1-x_2|=2\sqrt 2$</span>，求<span class="math inline">$m$</span>的值。</p>
</blockquote>
<p>这就是韦达定理唯一解答题考法：证明实数根<span class="math inline">$+$</span>利用定理计算。接下来把解法讲解一下。</p>
<blockquote>
<p><span class="math inline">$(1)$</span>证明：</p>
<p></p><div class="math display">\[a=1, b = m+3, c = m+1
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[b^2-4ac=(m+3)^2-4(m+1)=m^2+2m+5=(m+1)^2+4
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\because(m+1)^2\geq 0, (m+1)^2+4>0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\therefore b^2-4ac>0, 原方程总有两个不相等的实数根.
\]</div><p></p><p><span class="math inline">$(2)$</span>都出现在韦达定理里面了，总得用一下吧。</p>
<p></p><div class="math display">\[x_1+x_2=-\frac b a=-m-3, x_1x_2=\frac c a=m+1
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\because |x_1-x_2|=2\sqrt 2
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\therefore (x_1-x_2)^2=8
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\therefore (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=8
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\therefore (m+3)^2-4(m+1)=8
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[m^2+2m+5=8
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[解得m_1=1, m_2=-3
\]</div><p></p></blockquote>
<p>总之，第<span class="math inline">$(1)$</span>题很简单，第<span class="math inline">$(2)$</span>题先使用一次韦达定理，然后向“知二推二”和题目条件上硬凑即可。较为简单。</p>
<h2 id="小题没做过就做不出来系列">小题—没做过就做不出来系列</h2>
<p>这种题目属于是没做过就怎么也做不出来，做过了不管怎么变换都能做出来的类型。下面举一个例子：</p>
<blockquote>
<p>若<span class="math inline">$ab\neq 1$</span>，且有<span class="math inline">$5a^2+2024a+9=0$</span>及<span class="math inline">$9b^2+2024b+5=0$</span>。则<span class="math inline">$\frac a b$</span>的值是多少？</p>
</blockquote>
<p>这是我当时使用的方法：</p>
<blockquote>
<p>解：容易知道：</p>
<p></p><div class="math display">\[a=\frac {-2024±\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9}} {10}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[b=\frac {-2024±\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9}} {18}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\therefore \frac a b=\frac {\frac {-2024±\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9}} {10}} {\frac {-2024±\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9}} {18}}=\frac {\frac 1 {10}} {\frac 1 {18}}=\frac 9 5
\]</div><p></p></blockquote>
<p>但是，这个方法其实是有点问题的。<span class="math inline">$a$</span>、<span class="math inline">$b$</span>的正负号其实可以相反着取，这样上下两个分子就无法约去。但是，本题很巧的地方就在于：</p>
<p></p><div class="math display">\[\frac {-2024+\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9}} {10}\cdot \frac {-2024-\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9}} {18}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[=\frac {(-2024)^2-(\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9})^2} {180}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[=\frac {2024^2-2024^2+4\cdot 5\cdot 9} {180}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[=1
\]</div><p></p><p>与题目条件<span class="math inline">$ab\neq 1$</span>不符。因此，<span class="math inline">$\frac a b$</span>只可能是<span class="math inline">$\frac 9 5$</span>。</p>
<p>刚刚是暴力解法，那么我们能否巧妙使用韦达定理求解呢？<br>
<s>对想出这种解法的人的注意力表示崇高的敬意。</s></p>
<blockquote>
<p>我们注意到，<span class="math inline">$\frac a b=a\cdot \frac 1 b$</span>，这启示我们使用韦达定理（两根之积）进行求解。<br>
观察两个方程，发现其二次项和常数项系数恰好相反。因此容易想到，将方程<span class="math inline">$(2)$</span>两边同除以<span class="math inline">$b^2$</span>：</p>
<p></p><div class="math display">\[9+2024\cdot\frac 1 b+5\cdot\frac 1 {b^2}=0
\]</div><p></p><p>将<span class="math inline">$\frac 1 b$</span>看成整体，与方程<span class="math inline">$(1)$</span>联立：</p>
<p></p><div class="math display">\[\left\{\begin{aligned}5a^2&+2024a&+9=0\\5(\frac 1 b)^2&+2024(\frac 1 b)&+9=0\end{aligned}\right.
\]</div><p></p><p>看出来了吗？我们可以把<span class="math inline">$a$</span>和<span class="math inline">$\frac 1 b$</span>看做同一方程的两个根，那么：</p>
<p></p><div class="math display">\[a\cdot \frac 1 b=\frac c a=\frac 9 5
\]</div><p></p></blockquote>
<p>举一反三，触类旁通。</p>
<h1 id="一元二次方程的应用">一元二次方程的应用</h1>
<blockquote>
<p>敬请期待……</p>
</blockquote>
<h1 id="拓展转化的思想">拓展：“转化”的思想</h1>
<p>回顾我们之前解方程的方法，其实都有一个共同点——<strong>转化</strong>。即，将未知的方程转化为已知解法的方程并解之。</p>
<blockquote>
<p></p><div class="math display">\[一元一次方程\stackrel{去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1}{\longrightarrow}x=a
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[二元一次方程\stackrel{代入消元、加减消元}{\longrightarrow}一元一次方程
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[一元二次方程\stackrel{直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法}{\longrightarrow}一元一次方程
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[分式方程\stackrel{去分母}{\longrightarrow}整式方程+检验↑
\]</div><p></p></blockquote>
<p>利用转化的思想，我们还可以解一些新的方程。</p>
<blockquote>
<p>解<strong>一元三次方程</strong>：</p>
<p></p><div class="math display">\[x^3+x^2-2x=0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x(x^2+x-2)=0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[x(x-1)(x+2)=0\ \ \ \ (因式分解法)
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\therefore x_1=0, x_2=1, x_3=-2
\]</div><p></p></blockquote>
<blockquote>
<p>解<strong>无理方程</strong>（根号下含有未知数的方程）：</p>
<p></p><div class="math display">\[\sqrt {2x+3}+\sqrt {5x+1}=7
\]</div><p></p><p>两边平方：</p>
<p></p><div class="math display">\[2x+3+5x+1+2\sqrt {(2x+3)(5x+1)}=49
\]</div><p></p><p>孤立根号：</p>
<p></p><div class="math display">\[2\sqrt {(2x+3)(5x+1)}=-7x+45
\]</div><p></p><p>二次消根：</p>
<p></p><div class="math display">\[4(2x+3)(5x+1)=(-7x+45)^2
\]</div><p></p><p>化简：</p>
<p></p><div class="math display">\[9x^2-698x-2013=0
\]</div><p></p><p>公式法爆解，容易得到：</p>
<p></p><div class="math display">\[x_1=3, x_2=\frac {671} 9
\]</div><p></p><p>解无理方程在升次时会产生增根。</p>
<p></p><div class="math display">\[经检验，x_2=\frac {671} 9是增根；
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[原方程的解为x=3。
\]</div><p></p></blockquote>
<h1 id="题目汇编">题目汇编</h1>
<h2 id="1-有理数之证">$1. $【有理数之证】</h2>
<blockquote>
<p>已知关于<span class="math inline">$x$</span>的一元二次方程<span class="math inline">$ax^2+bx+c=0(a, b, c为有理数, a\neq 0)$</span>有一个根为<span class="math inline">$4-\sqrt {13}$</span>，则它的另一个根是多少？为什么？</p>
</blockquote>
<p>第一问一定很容易吧，答案是<span class="math inline">$4+\sqrt {13}$</span>。<br>
那么我们如何证明呢？这似乎是一道缺少条件的题目。但是，这里的<strong>有理数</strong>可以给我们一些提示。</p>
<blockquote>
<p>同学的答案：</p>
<p></p><div class="math display">\[\because x_1=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac}} {2a}=4-\sqrt {13}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\therefore -\frac b {2a}=4, \frac {\sqrt {b^2-4ac}} {2a}=\sqrt {13}
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\thereforex_2=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac}} {2a}=4+\sqrt {13}
\]</div><p></p></blockquote>
<p>嘿嘿，一分没有。<br>
你可能会疑问，这样的证明过程难道不够严谨吗？<br>
是的，而且从第二步开始就不严谨了。</p>
<p>我们需要从<strong>有理数</strong>的条件一步一步推出第二步的结论，并不是一下子就可以跳过来的。首先，我们回顾一下与有理数有关的一些基本定理。<br>
请注意，以下描述中的<span class="math inline">$∈Q$</span>，等效于<span class="math inline">$是有理数$</span>。</p>
<ol>
<li>对于任意的<span class="math inline">$a, b∈Q$</span>，有<span class="math inline">$a+b, a-b, ab, \frac a b∈Q$</span>。</li>
<li>存在<span class="math inline">$a, b∉Q$</span>，使得<span class="math inline">$a+b, a-b, ab, \frac a b中一项∈Q$</span>。</li>
<li>对于任意的<span class="math inline">$a+bk∈Q(a, b∈Q, k∉Q)$</span>，有<span class="math inline">$b=0$</span>。</li>
<li>对于任意的<span class="math inline">$a∈Q, b∉Q$</span>，有<span class="math inline">$a+b, a-b∉Q, \frac b a∉Q(a\neq 0)$</span>。</li>
<li>存在<span class="math inline">$a∈Q, b∉Q$</span>，使得<span class="math inline">$ab, \frac a b∈Q$</span>。</li>
</ol>
<p>第一项可以通过有理数的定义<span class="math inline">$Q=\frac m n(m, n∈Z, n\neq 0)$</span>证明。</p>
<p>第二项可以举出反例：<br>
<span class="math inline">$a=4+\sqrt {13}, b=4-\sqrt {13}$</span>，满足<span class="math inline">$a+b, ab∈Q$</span>。<br>
<span class="math inline">$a=b=4+\sqrt {13}$</span>，满足<span class="math inline">$a-b, \frac a b∈Q$</span>。</p>
<p>第三、四项可以同理证明。</p>
<p>第五项可以举出反例，亦即<span class="math inline">$a=0$</span>。</p>
<p>接下来我们开解。</p>
<blockquote>
<p>因为条件有<span class="math inline">$ax^2+bx+c=0$</span>有一根为<span class="math inline">$x=4-\sqrt {13}$</span>，所以：</p>
<p></p><div class="math display">\[(4-\sqrt {13})^2a+(4-\sqrt {13})b+c=0
\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[29a-8\sqrt {13}a+4b-\sqrt {13}b+c=0
\]</div><p></p><p>因为我们抓住了<strong>有理数</strong>这一条件，所以要将有理数分离：</p>
<p></p><div class="math display">\[(29a+4b+c)-\sqrt {13}(8a+b)=0\ \ \ \ \ \ \ (1)
\]</div><p></p><p>应用基本定理<span class="math inline">$3$</span>：</p>
<p></p><div class="math display">\[8a+b=0
\]</div><p></p><p>代入式<span class="math inline">$(1)$</span>可得：</p>
<p></p><div class="math display">\[29a+4b+c=0
\]</div><p></p><p>当<span class="math inline">$x=4+\sqrt {13}$</span>时，原方程：</p>
<p></p><div class="math display">\[\begin{aligned}
左边&=(4+\sqrt {13})^2a+(4+\sqrt {13})b+c \\
&=29a+8\sqrt {13}a+4b+\sqrt {13}b+c\\
&=(29a+4b+c)+\sqrt {13}(8a+b)\\
&=0+\sqrt {13}\cdot 0\\
&=0\\
右边&=0
\end{aligned}\]</div><p></p><p></p><div class="math display">\[\therefore 左边=右边
\]</div><p></p><p>证毕。</p>
</blockquote>
<p>这道题为我们与有理数相关的证明做出了一个很好的示范。</p><br><br>
来源：https://www.cnblogs.com/ZzqMath-Coding/p/18907583

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