文化水平：初二。
文章是一元二次方程概念性知识速通版。请不要盲目模仿文章中的格式。
一元二次方程的定义
一个正方形的面积是\(5\)，请列方程求出边长。
我国两年内总人口从\(139538\)万人增长到\(141177\)万人，请列方程求出年平均增长率。
在循环赛中，\(x\)个球队总计赛\(36\)场，求\(x\)。
以上这些实际问题分别列方程为：
\[x^2=5
\] \[1395380000(1+x)^2=1411770000
\] \[\frac {x(x-1)} 2=36
\] 这些方程都有一个共同点：展开后，\(x\)的最高次为\(2\)。
我们定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。
一元二次方程的一般形式是\(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\)。其中，\(ax^2\)、\(bx\)和\(c\)分别叫做二次项、一次项和常数项，\(a\)、\(b\)分别叫做二次项系数、一次项系数。
一元二次方程的解应该写成\(x_1=a, x_2=b\)的形式。
一元二次方程的解法
一元二次方程我哪会解啊。我只会解一元一次方程。
直接开平方法
解方程：
\[x^2=9
\] Hmm...我希望把一元二次方程转化为一元一次方程，那我就利用算术平方根进行降次。
\[x=±\sqrt 9=±3
\] \[x_1=3, x_2=-3
\] 简单😎。那么类比我们可以通过直接开方解出以下类型的方程：
\[x^2=k
\] \[x^2+h=k
\] \[(x+h)^2=k
\] \[(x+h)^2+p=k
\] 练习
用直接开平方法解以下方程：
\[(1)x^2=9
\] \[(2)x^2+1=\frac {13} 4
\] \[(3)(x+2)^2=5
\] \[(4)x^2+8=\frac {31}{4}
\]
配方法
解方程：
\[x^2-4x+3=0
\] 啊，直接开平方法这不炸了吗，连开方都开不了。
那就配出【一个】平方。
\[x^2-4x+4=1
\] \[(x-2)^2=1
\] 然后利用直接开平方法即可。
\[x-2=±1
\] \[x_1=3, x_2=1
\] 这是二次项系数为\(1\)的配方法，那如果二次项系数不为\(1\)呢？
\[2x^2+x-3=0
\] 没事，让我们转化一下。
\[x^2+\frac 1 2x-\frac 3 2=0
\] \[x^2+2\cdot \frac 1 4x+\frac 1 {16}=\frac {25}{16}
\] \[(x+\frac 1 4)^2=\frac {25}{16}
\] \[x+\frac 1 4=±\frac 5 4
\] \[x_1=1, x_2=-\frac 3 2
\] 这就是系数不为\(1\)的配方法。
哎，你看，既然我们具体数字的配方法会了，那么把数字换成字母，你没有理由不会了吧！
解方程：
\[x^2+px+q=0
\] 哎呀，这不就是基本操作嘛！配方上！
\[x^2+px+\frac {p^2} 4=\frac {p^2} 4-q
\] \[(x+\frac p 2)^2=\frac {p^2-4q} 4
\] \[x+\frac p 2=±\frac {\sqrt {p^2-4q}} 2
\] \[x_1=\frac {-p+\sqrt {p^2-4q}} 2,x_2=\frac {-p-\sqrt {p^2-4q}} 2
\] 哎？怎么错了？
哦，原来\(p^2-4q\)没说一定要大于等于\(0\)。
\[①p^2-4q>0: x_1=\frac {-p+\sqrt {p^2-4q}} 2,x_2=\frac {-p-\sqrt {p^2-4q}} 2
\] \[②p^2-4q=0: x_1=x_2=-\frac p 2
\] \[③p^2-4q<0: 方程没有实数根
\] 这提醒我们，以后一定要注意分情况讨论。
其实这里算出来的\(x_1\)和\(x_2\)，就是求根公式的变形。
配方法的几何意义
让我们移步到《周髀算经》，看看我们的赵爽同学是如何解形如\(x^2+px=q\)的一元二次方程的。
容易发现，任意一个一元二次方程都可以化为\(x^2+px=q\)的形式。
众所周知，古时候的人们在认识数学时，都是从生活中得到的灵感，因此他们在思想上自然地排除掉了负数的一种情况。于是赵爽同学只研究了\(x\geq0\)的一种情况，这是因古时人们的思考方式决定的，我们也不能说他错。毕竟几何上基本是没有负数一说的。
首先赵爽将方程变形为：
\[x(x+p)=q
\] 这一步的几何意义是构造一个长方形，其一边是\(x\)，另一边是\(x+p\)，而面积是\(q\)。
接下来，赵爽发动传统艺能勾股弦图，复制粘贴了四份，并按照弦图的方法拼起来。
赵爽惊奇地发现，拼成的正方形面积等于\((x+x+p)^2\)，而同时又等于四个长方形加一个正方形，即\(p^2+4q\)，因此容易有：
\[(2x+p)^2=p^2+4q
\] 我们开方的过程，相当于在求正方形的边长。
\[2x+p=\sqrt {p^2+4q}
\] 成功地完成了降次。
赵爽同学最终推出来的“求根公式”是：
\[x=\frac {-p+\sqrt {p^2+4q}} 2
\] 在不考虑负数的情况下，该公式完全正确。因为我们刚刚考虑的是\(x^2+px+q=0\)，和赵爽的原方程中\(q\)构成相反数，因此此处是\(p^2+4q\)。
有的人就要叫起来了，哎主播主播，他没有考虑根号下小于\(0\)！
首先，在几何方面解释，一个正方形的面积怎么可能是负数呢？不用考虑。另外，赵爽同学默认了\(q\geq0\)，因此可推出\(p^2+4q\geq0\)，到头来还是因为古代不接受负数。
课本上利用了不同的几何方法，大家可以自行研究。
练习
用配方法解以下方程：
\[(1)x^2 + 5x + 6 = 0
\] \[(2)x^2 - \frac 3 2x - 1 = 0
\] \[(3)2x^2+ 12x - 14 = 0
\] \[(4)3x^2 - 9x + 6 = 0
\]
公式法
有的同学说，主播主播，这个配方法还是太吃操作了，还十分的繁琐。有没有什么简单（无脑）又强势（迪奥）的方法推荐一下呢？
有的兄弟，有的。让我们把配方法里面的数字用字母表示，然后推算一遍。
\[ax^2+bx+c=0(a\neq 0)
\] 因为\(a\neq 0\)，所以两边同除以\(a\)：
\[x^2+\frac b ax+\frac c a=0
\] 仿照二次项系数为\(1\)的配方法进行配方：
\[x^2+2\cdot \frac b {2a}x+\frac {b^2}{4a^2}=\frac {b^2}{4a^2}-\frac c a
\] \[(x+\frac b {2a})^2=\frac {b^2-4ac} {4a^2}
\] 方程化为了\((x+h)^2=k\)的形式。首先应判断\(\frac {b^2-4ac} {4a^2}\)的正负。
\[\because a\neq 0\therefore 4a^2>0
\] 方程若有解，即\(\frac {b^2-4ac} {4a^2}\geq0\)，因此只能有\(b^2-4ac\geq 0\)。
\[当b^2-4ac\geq 0时，
\] \[x+\frac b {2a}=\frac {±\sqrt {b^2-4ac}} {2a}
\] \[x_1=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac}} {2a}, x_2=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac}} {2a}
\] 你发现，一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\)的根是由方程的各系数\(a, b,c\)确定的。当\(b^2-4ac\geq0\)时，它的实数根是：
\[x=\frac {-b±\sqrt {b^2-4ac}} {2a}
\] 有的同学要叫起来了。
这是求根公式——最纯粹的力量。直接套用求根公式得到一元二次方程实数根的方法被称作公式法。
从求根公式中，你可以看出一元二次方程实数根的个数和什么有关吗？
你发现，根号下的\(b^2-4ac\)是重点。当它大于\(0\)时，\(±\sqrt {b^2-4ac}\)可以开出两个实数；当它等于\(0\)时，\(±\sqrt {b^2-4ac}\)只能开出一个\(0\)；当它小于\(0\)时，根号无意义。
因此，我们容易得出：
| \(b^2-4ac\) |
解的情况 |
| \(>0\) |
有两个不相等的实数根 |
| \(=0\) |
有两个相等的实数根 |
| \(<0\) |
没有实数根 |
这个时候有的同学又要叫起来了。
我们定义，\(b^2-4ac\)是一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\)的根的判别式，记为\(\Delta\)。
备注：在新版教材里，不强调\(\Delta\)。请不要在练习中出现这个“三角形”。
“双圈”问题
已知关于\(x\)的一元二次方程\(ax^2-2x+1=0\)有两个不相等的实数根，求\(a\)的取值范围。
第一次做这道题目的你：
\[b^2-4ac=4-4a>0
\] \[a<1
\] 哎？怎么错了？
卧槽，原来是一元二次方程，有\(a\neq0\)。
已知关于\(x\)的方程\(ax^2-6x+5=0\)有实数根，求\(a\)的取值范围。
这下真的看清楚了。
\[\left\{
\begin{aligned}
&b^2-4ac=36-20a\geq 0 \\
&a\neq 0\\
\end{aligned}
\right.\] \[a\leq \frac 9 5且a\neq 0
\] 又错了？
哦，原来这次是方程。\(a\leq \frac 9 5\)。
这样的题目，我们称为“双圈问题”。以下是一些双圈问题的条件搭配：
对于方程\(ax^2+bx+c=0\)：
|
|
\(A\) |
\(B\) |
|
|
一元二次方程 |
方程 |
| \(1\) |
有两个不相等的实数根 |
\(a\neq 0且b^2-4ac>0\) |
见\(A1\) |
| \(2\) |
有两个相等的实数根 |
\(a\neq 0且b^2-4ac=0\) |
见\(A2\) |
| \(3\) |
有两个实数根 |
\(a\neq 0且b^2-4ac\geq0\) |
见\(A3\) |
| \(4\) |
有实数根 |
\(b^2-4ac\geq0且a\neq0\) |
\(\left\{\begin{aligned}&a=0&b\neq 0或b=0且c=0\\&a\neq 0&b^2-4ac\geq0\\\end{aligned}\right.\) |
| \(5\) |
没有实数根 |
\(b^2-4ac<0\) |
\(\left\{\begin{aligned}&a=0&b=0且c\neq 0\\&a\neq 0&b^2-4ac<0\\\end{aligned}\right.\) |
这里面的规律，读者自证不难。不过，让我们复习一下：
解方程：
\[ax=b
\]
答案：
\[\left\{\begin{aligned}&a\neq0&x=\frac b a\\&a=0&\left\{\begin{aligned}&b=0&x取全体实数\\&b\neq 0&x无解\\\end{aligned}\right.\\\end{aligned}\right.
\]
提示：“双圈问题”在解答题中一般分值较高。请注意该类题型的格式与技巧。
练习
$1. $用公式法解以下方程：
\[(1)x^2+4x-5=0
\] \[(2)3x^2-x-2=0
\] \[(3)-2x^2+2\sqrt 2x+1=0
\] $2. $不解方程，判别方程根的情况：
\[(1)x^2+3x-1=0
\] \[(2)2y^2-3y+4=0
\] \[(3)x^2+5=2\sqrt 5x
\]
因式分解法
解方程：
\[x^2-x=0
\] 左边因式分解：
\[x(x-1)=0
\] 可得两个一次方程：
\[x=0\ \ \ \ \ \ \ (1)\ \ \ x-1=0\ \ \ \ \ \ \ (2)
\] 解得：
\[x_1=0, x_2=1
\] 因式分解法，无师自通。
仅适用于左边可以因式分解的一元二次方程。
练习
用因式分解法解以下方程：
\[(1)x^2+6x=0
\] \[(2)9t^2-(t-1)^2=0
\] \[(3)25x^2-5x+\frac 1 4=0
\] \[(4)(x+1)^2+8x+24=0
\]
备注：在实际应用中，没有要求一定要用哪种方法解方程，你可以选择合适的方法解方程。常用的顺序是：
因式分解法→公式法→配方法（被世界遗忘）
直接开平方法只在特殊情况下能用。
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
观察下列方程：
| 方程 |
\(x_1\) |
\(x_2\) |
| \(x^2-5x+4=0\) |
\(1\) |
\(4\) |
| \(x^2+5x+6=0\) |
\(-2\) |
\(-3\) |
| \(x^2+7x-8=0\) |
\(1\) |
\(-8\) |
| \(2x^2+7x-4=0\) |
\(\frac 1 2\) |
\(-4\) |
| \(2x^2-9x+7=0\) |
\(1\) |
\(\frac 7 2\) |
观察这两个根与系数\(a,b,c\)之间有什么关系？
经过尝试，我们惊奇的发现对于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)，若有两个实数根\(x_1, x_2\)，则两根的和似乎都等于\(-\frac b a\)，两根的积都等于\(\frac ca\)。
能否进行验证呢？很简单，掏出我们最纯粹的力量。
\[已知对于方程ax^2+bx+c=0(b^2-4ac \geq0且a\neq 0)，
\] \[其两根分别为x_1=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac}} {2a}, x_2=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac}} {2a}
\] \[x_1+x_2=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac}-b-\sqrt {b^2-4ac}} {2a}=-\frac b a
\] \[x_1x_2=\frac {(-b)^2-(\sqrt {b^2-4ac})^2} {4a^2}=\frac {b^2-b^2+4ac} {4a^2}=\frac c a
\] 证毕。
这个神奇的定理被称作韦达定理。
这个结论在求两根和与积、已知一根求另一根或者由根反推方程式时十分好用。韦达定理的有关题目并没有什么难度，我们简单归纳一下：一种大题和一种小题。
证明大题
已知关于\(x\)的一元二次方程\(x^2+(m+3)x+m+1=0\)。
\((1)\)求证：无论\(m\)取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
\((2)\)若\(x_1\)、\(x_2\)是原方程的两根，且\(|x_1-x_2|=2\sqrt 2\)，求\(m\)的值。
这就是韦达定理唯一解答题考法：证明实数根\(+\)利用定理计算。接下来把解法讲解一下。
\((1)\)证明：
\[a=1, b = m+3, c = m+1
\] \[b^2-4ac=(m+3)^2-4(m+1)=m^2+2m+5=(m+1)^2+4
\] \[\because(m+1)^2\geq 0, (m+1)^2+4>0
\] \[\therefore b^2-4ac>0, 原方程总有两个不相等的实数根.
\] \((2)\)都出现在韦达定理里面了，总得用一下吧。
\[x_1+x_2=-\frac b a=-m-3, x_1x_2=\frac c a=m+1
\] \[\because |x_1-x_2|=2\sqrt 2
\] \[\therefore (x_1-x_2)^2=8
\] \[\therefore (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=8
\] \[\therefore (m+3)^2-4(m+1)=8
\] \[m^2+2m+5=8
\] \[解得m_1=1, m_2=-3
\]
总之，第\((1)\)题很简单，第\((2)\)题先使用一次韦达定理，然后向“知二推二”和题目条件上硬凑即可。较为简单。
小题—没做过就做不出来系列
这种题目属于是没做过就怎么也做不出来，做过了不管怎么变换都能做出来的类型。下面举一个例子：
若\(ab\neq 1\)，且有\(5a^2+2024a+9=0\)及\(9b^2+2024b+5=0\)。则\(\frac a b\)的值是多少？
这是我当时使用的方法：
解：容易知道：
\[a=\frac {-2024±\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9}} {10}
\] \[b=\frac {-2024±\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9}} {18}
\] \[\therefore \frac a b=\frac {\frac {-2024±\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9}} {10}} {\frac {-2024±\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9}} {18}}=\frac {\frac 1 {10}} {\frac 1 {18}}=\frac 9 5
\]
但是，这个方法其实是有点问题的。\(a\)、\(b\)的正负号其实可以相反着取，这样上下两个分子就无法约去。但是，本题很巧的地方就在于：
\[\frac {-2024+\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9}} {10}\cdot \frac {-2024-\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9}} {18}
\] \[=\frac {(-2024)^2-(\sqrt {2024^2-4\cdot 5\cdot 9})^2} {180}
\] \[=\frac {2024^2-2024^2+4\cdot 5\cdot 9} {180}
\] \[=1
\] 与题目条件\(ab\neq 1\)不符。因此，\(\frac a b\)只可能是\(\frac 9 5\)。
刚刚是暴力解法，那么我们能否巧妙使用韦达定理求解呢？
对想出这种解法的人的注意力表示崇高的敬意。
我们注意到，\(\frac a b=a\cdot \frac 1 b\)，这启示我们使用韦达定理（两根之积）进行求解。
观察两个方程，发现其二次项和常数项系数恰好相反。因此容易想到，将方程\((2)\)两边同除以\(b^2\)：
\[9+2024\cdot\frac 1 b+5\cdot\frac 1 {b^2}=0
\] 将\(\frac 1 b\)看成整体，与方程\((1)\)联立：
\[\left\{\begin{aligned}5a^2&+2024a&+9=0\\5(\frac 1 b)^2&+2024(\frac 1 b)&+9=0\end{aligned}\right.
\] 看出来了吗？我们可以把\(a\)和\(\frac 1 b\)看做同一方程的两个根，那么：
\[a\cdot \frac 1 b=\frac c a=\frac 9 5
\]
举一反三，触类旁通。
一元二次方程的应用
敬请期待……
拓展：“转化”的思想
回顾我们之前解方程的方法，其实都有一个共同点——转化。即，将未知的方程转化为已知解法的方程并解之。
\[一元一次方程\stackrel{去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1}{\longrightarrow}x=a
\] \[二元一次方程\stackrel{代入消元、加减消元}{\longrightarrow}一元一次方程
\] \[一元二次方程\stackrel{直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法}{\longrightarrow}一元一次方程
\] \[分式方程\stackrel{去分母}{\longrightarrow}整式方程+检验↑
\]
利用转化的思想，我们还可以解一些新的方程。
解一元三次方程：
\[x^3+x^2-2x=0
\] \[x(x^2+x-2)=0
\] \[x(x-1)(x+2)=0\ \ \ \ (因式分解法)
\] \[\therefore x_1=0, x_2=1, x_3=-2
\]
解无理方程（根号下含有未知数的方程）：
\[\sqrt {2x+3}+\sqrt {5x+1}=7
\] 两边平方：
\[2x+3+5x+1+2\sqrt {(2x+3)(5x+1)}=49
\] 孤立根号：
\[2\sqrt {(2x+3)(5x+1)}=-7x+45
\] 二次消根：
\[4(2x+3)(5x+1)=(-7x+45)^2
\] 化简：
\[9x^2-698x-2013=0
\] 公式法爆解，容易得到：
\[x_1=3, x_2=\frac {671} 9
\] 解无理方程在升次时会产生增根。
\[经检验，x_2=\frac {671} 9是增根；
\] \[原方程的解为x=3。
\]
题目汇编
$1. $【有理数之证】
已知关于\(x\)的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a, b, c为有理数, a\neq 0)\)有一个根为\(4-\sqrt {13}\)，则它的另一个根是多少？为什么？
第一问一定很容易吧，答案是\(4+\sqrt {13}\)。
那么我们如何证明呢？这似乎是一道缺少条件的题目。但是，这里的有理数可以给我们一些提示。
同学的答案：
\[\because x_1=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac}} {2a}=4-\sqrt {13}
\] \[\therefore -\frac b {2a}=4, \frac {\sqrt {b^2-4ac}} {2a}=\sqrt {13}
\] \[\therefore x_2=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac}} {2a}=4+\sqrt {13}
\]
嘿嘿，一分没有。
你可能会疑问，这样的证明过程难道不够严谨吗？
是的，而且从第二步开始就不严谨了。
我们需要从有理数的条件一步一步推出第二步的结论，并不是一下子就可以跳过来的。首先，我们回顾一下与有理数有关的一些基本定理。
请注意，以下描述中的\(∈Q\)，等效于\(是有理数\)。
- 对于任意的\(a, b∈Q\)，有\(a+b, a-b, ab, \frac a b∈Q\)。
- 存在\(a, b∉Q\)，使得\(a+b, a-b, ab, \frac a b中一项∈Q\)。
- 对于任意的\(a+bk∈Q(a, b∈Q, k∉Q)\)，有\(b=0\)。
- 对于任意的\(a∈Q, b∉Q\)，有\(a+b, a-b∉Q, \frac b a∉Q(a\neq 0)\)。
- 存在\(a∈Q, b∉Q\)，使得\(ab, \frac a b∈Q\)。
第一项可以通过有理数的定义\(Q=\frac m n(m, n∈Z, n\neq 0)\)证明。
第二项可以举出反例：
\(a=4+\sqrt {13}, b=4-\sqrt {13}\)，满足\(a+b, ab∈Q\)。
\(a=b=4+\sqrt {13}\)，满足\(a-b, \frac a b∈Q\)。
第三、四项可以同理证明。
第五项可以举出反例，亦即\(a=0\)。
接下来我们开解。
因为条件有\(ax^2+bx+c=0\)有一根为\(x=4-\sqrt {13}\)，所以：
\[(4-\sqrt {13})^2a+(4-\sqrt {13})b+c=0
\] \[29a-8\sqrt {13}a+4b-\sqrt {13}b+c=0
\] 因为我们抓住了有理数这一条件，所以要将有理数分离：
\[(29a+4b+c)-\sqrt {13}(8a+b)=0\ \ \ \ \ \ \ (1)
\] 应用基本定理\(3\)：
\[8a+b=0
\] 代入式\((1)\)可得：
\[29a+4b+c=0
\] 当\(x=4+\sqrt {13}\)时，原方程：
\[\begin{aligned}
左边&=(4+\sqrt {13})^2a+(4+\sqrt {13})b+c \\
&=29a+8\sqrt {13}a+4b+\sqrt {13}b+c\\
&=(29a+4b+c)+\sqrt {13}(8a+b)\\
&=0+\sqrt {13}\cdot 0\\
&=0\\
右边&=0
\end{aligned}\] \[\therefore 左边=右边
\] 证毕。
这道题为我们与有理数相关的证明做出了一个很好的示范。
来源：https://www.cnblogs.com/ZzqMath-Coding/p/18907583 |
发表于 2025-6-2 20:42:00
