题⽬描述
在⼀个m × n的棋盘的每⼀格都放有⼀个礼物，每个礼物都有⼀定的价值（价值⼤于 0）。你可以从棋盘的左上⻆开始拿格⼦⾥的礼物，并每次向右或者向下移动⼀格、直到到达棋盘的右下⻆。给定⼀个棋盘及其上⾯的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？
如输⼊这样的⼀个⼆维数组，
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
那么路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物，价值为 12
思路及解答
基础动态规划
这道题其实⼀看就知道是动态规划，棋盘中的每个⼩格⼦，都是和上⽅，或者左⽅的格⼦有关。既然是动态规划，那么我们先定义状态：
dp[j]表示到达(i,j)位置时能获得的最大礼物价值
状态转移：dp[j] = max(dp[i-1][j], dp[j-1]) + grid[j]
public int maxValue(int[][] grid) {
if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {
return 0;
}
int m = grid.length, n = grid[0].length;
int[][] dp = new int[m][n];
// 初始化起点
dp[0][0] = grid[0][0];
// 初始化第一行：只能从左边来
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
}
// 初始化第一列：只能从上边来
for (int i = 1; i < m; i++) {
dp[0] = dp[i-1][0] + grid[0];
}
// 填充其余位置
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[j-1]) + grid[j];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
每个位置的计算只依赖左边和上边的结果，通过双重循环自左上向右下填充整个dp表
空间优化动态规划
观察发现当前行只依赖上一行，可以使用一维数组进行空间优化，利用dp[j]在更新前存储上一行第j列的值，更新后存储当前行第j列的值，实现空间复用
dp[j]表示当前行第j列的最大价值，滚动更新
public int maxValue(int[][] grid) {
if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {
return 0;
}
int m = grid.length, n = grid[0].length;
int[] dp = new int[n];
// 初始化第一行
dp[0] = grid[0][0];
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[j] = dp[j-1] + grid[0][j];
}
// 处理后续行
for (int i = 1; i < m; i++) {
// 更新第一列
dp[0] += grid[0];
for (int j = 1; j < n; j++) {
// dp[j]代表上一行第j列的值（从上方来）
// dp[j-1]代表当前行第j-1列的值（从左边来）
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-1]) + grid[j];
}
}
return dp[n-1];
}
原地修改动态规划（最优解）
修改原数组，直接使用grid数组作为dp表，避免额外空间分配
public int maxValue(int[][] grid) {
if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {
return 0;
}
int m = grid.length, n = grid[0].length;
// 初始化第一行
for (int j = 1; j < n; j++) {
grid[0][j] += grid[0][j-1];
}
// 初始化第一列
for (int i = 1; i < m; i++) {
grid[0] += grid[i-1][0];
}
// 填充其余位置
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
grid[j] += Math.max(grid[i-1][j], grid[j-1]);
}
}
return grid[m-1][n-1];
}
- 时间复杂度： O(nm) ，需要计算完⾥⾯的⼩格⼦
- 空间复杂度： O(1) ，优化后可以实现原地操作，不需要额外的空间
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发表于 2026-2-4 09:00:00